§ 3. Объёмы цилиндра и шара

Определения и обозначения

Цилиндр — тело с двумя равными круглыми основаниями и боковой поверхностью. Радиус основания обозначают r, а расстояние между основаниями, то есть высоту, — h. Цилиндры похожи на многие сосуды и детали, поэтому знание их устройства помогает находить вместимость или объём предмета.

Шар — геометрическое тело, все точки поверхности которого находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называют радиусом и обозначают r. Такое определение помогает отличить шар от других тел и понять, какую величину нужно измерить, чтобы вычислить его объём.

Объём тела — величина, показывающая, сколько места тело занимает в пространстве. Его обозначают буквой V. Объём нужен, например, чтобы сравнить вместимость сосудов или определить, сколько пространства занимает предмет.

Число π — постоянное число, которое используют при вычислениях с кругами и телами с круглыми основаниями или сферической поверхностью. Для простых вычислений часто принимают π ≈ 3,14. Оно входит в формулы, потому что связывает размеры круга с его площадью.

Как это устроено

Представь цилиндр, сложенный из множества тонких круговых слоёв. У каждого слоя одинаковая площадь, потому что все слои повторяют круглое основание. Чем выше цилиндр, тем больше таких слоёв в нём помещается, поэтому объём получается умножением площади основания на высоту.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга, а она равна πr². Умножая площадь одного слоя на высоту h, мы как бы складываем площади всех слоёв по всей высоте. Поэтому формула объёма цилиндра имеет вид V = πr²h. Радиус здесь возводится в квадрат именно потому, что сначала находят площадь круга.

В формуле шара V = 4/3πr³ радиус возводится в куб, потому что объём зависит от трёх измерений пространства: длины, ширины и высоты. Коэффициент 4/3 показывает, как объём шара соотносится с кубическим выражением πr³. Это не дополнительная величина, которую нужно находить, а постоянная часть готовой формулы.

Единицы объёма зависят от единиц длины в вычислениях. Если радиус и высота измерены в сантиметрах, то r²h имеет размерность см² × см, то есть см³. Поэтому объём записывают в кубических сантиметрах. Если размеры даны в разных единицах, перед подстановкой их приводят к одной и той же единице.

Формулы можно преобразовать, если нужно найти не объём, а одну из других величин. Например, в формуле цилиндра V = πr²h, чтобы найти высоту, делят объём на πr²: h = V/(πr²). Чтобы найти радиус, сначала делят объём на πh, а затем извлекают квадратный корень. Так формула помогает решать задачи с неизвестной величиной.

Объёмы цилиндра и шара

Таблица помогает выбрать нужную формулу и проверить, какие величины должны быть известны. До вычислений убедись, что все длины выражены в одинаковых единицах. Ответ записывай в кубических единицах, соответствующих выбранной единице длины.

Разбор задач

Объём цилиндра

Найдите объём цилиндра с радиусом основания 3 см и высотой 5 см, принимая π = 3,14. Известны обе величины, нужные для формулы цилиндра. Сначала найдём площадь круглого основания, а затем учтём высоту. Поскольку длины заданы в сантиметрах, объём получится в см³.

1. Запишем формулу: V = πr²h.
2. Подставим значения: V = 3,14 · 3² · 5.
3. Вычислим: 3² = 9, затем 3,14 · 9 · 5 = 141,3.

Ответ: 141,3 см³.

Объём шара

Радиус шара равен 3 см. Найдём объём, принимая π = 3,14. Используем формулу шара, поэтому радиус нужно возвести в куб, то есть умножить на себя три раза. Коэффициент 4/3 удобно применить после умножения π на r³.

1. Запишем формулу: V = 4/3πr³.
2. Подставим данные и найдём куб радиуса: V = 4/3 · 3,14 · 3³; 3³ = 27.
3. Выполним вычисления: 3,14 · 27 = 84,78; затем 84,78 · 4/3 = 113,04.

Ответ: 113,04 см³.

Высота цилиндрического бака

Объём цилиндрического бака равен 6280 см³, а радиус — 10 см. Нужно найти высоту, поэтому не подставляем данные в формулу для вычисления объёма, а сначала выражаем из неё h. Радиус и объём уже заданы в согласованных единицах. После нахождения высоты проверим вычисление обратной подстановкой.

1. Начнём с формулы V = πr²h и выразим высоту: h = V/(πr²).
2. Подставим значения: h = 6280/(3,14 · 10²) = 6280/314.
3. Разделим: h = 20 см. Проверка: 3,14 · 100 · 20 = 6280 см³.

Ответ: высота бака равна 20 см.

Типичные ошибки

Иногда вместо радиуса подставляют диаметр, особенно если в условии указан именно он. Радиус — это половина диаметра, поэтому сначала вычисли r = d/2. Для проверки прикинь: радиус должен быть меньше диаметра в два раза.

Можно забыть возвести радиус в нужную степень: в формуле цилиндра — в квадрат, а в формуле шара — в куб. Так происходит, когда путают площадь основания и объём тела. Перед вычислением посмотри на формулу и отдельно вычисли r² или r³.

Если радиус и высота указаны в разных единицах, нельзя сразу подставлять их в формулу. Например, метры и сантиметры сначала нужно привести к одной единице, иначе вычисление даст неверный результат. Проверь обозначения единиц в условии и запиши их рядом с каждым числом.

Объём иногда записывают в квадратных единицах или вообще без единицы измерения. Квадратные единицы подходят для площади, а объём описывает пространство в трёх измерениях. Проверь, что в ответе стоит кубическая единица, например см³, и что она соответствует исходным длинам.

Связь с другими темами

Чтобы понять формулу цилиндра, нужно знать формулу площади круга S = πr². Также пригодятся действия со степенями и перевод единиц длины: эти навыки помогают правильно подставлять данные. Формулы объёмов полезны в задачах о вместимости сосудов, объёме деталей и количестве материала для изготовления предметов. Позже они станут опорой при изучении других пространственных тел и решении практических задач.

Что запомнить

• Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.
• Формула объёма цилиндра: V = πr²h.
• Формула объёма шара: V = 4/3πr³.
• Радиус и высоту перед вычислениями выражают в одинаковых единицах.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• Диаметр в формулах нужно заменить радиусом: r = d/2.