§ 2. Вычитание. Разность

Определения и обозначения

Вычитание — арифметическое действие, с помощью которого по сумме и одному слагаемому находят другое слагаемое. Проще говоря, оно помогает узнать, сколько останется, если часть убрать, или сколько не хватает до большего числа. Для вычитания используют знак «−».

Уменьшаемое — число, из которого вычитают; в записи a − b это число a, стоящее первым. Оно задаёт исходное количество, которое уменьшают на другую величину. Например, в записи 12 − 5 уменьшаемое — 12.

Вычитаемое — число, которое вычитают из уменьшаемого; в записи a − b это число b, стоящее вторым. Оно показывает, какую часть убирают или какое число сравнивают с уменьшаемым. В выражении 12 − 5 вычитаемое — 5.

Разность — результат вычитания; в записи a − b = c числом c обозначена разность. Это ответ на вопрос, сколько осталось или на сколько первое число больше второго. Например, 12 − 5 = 7, поэтому разность равна 7.

Как это устроено

Вычитание можно понимать как удаление части предметов из целого или как нахождение того, на сколько одно число больше другого. В первом случае удобно представить, что было несколько предметов и некоторые убрали: ответ показывает, сколько осталось. Во втором случае числа сравнивают, а разность показывает расстояние между ними на числовом ряду. Например, если на одной полке 9 книг, а на другой 6, то 9 − 6 = 3: на первой полке на три книги больше.

В записи a − b = c первое число называют уменьшаемым, второе — вычитаемым, а результат — разностью. Такой порядок названий связан с самим действием: сначала есть исходное количество, затем из него убирают часть, а после этого получают ответ. Если переставить числа, изменится смысл действия. Поэтому полезно читать запись слева направо и проговаривать её: «из a вычесть b — получится c».

Вычитание связано со сложением: чтобы проверить разность, к полученному результату прибавляют вычитаемое и сравнивают с уменьшаемым. Причина в том, что вычитание отвечает на вопрос, какое слагаемое нужно добавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое. Например, если 15 − 8 = 7, то проверка 7 + 8 = 15 подтверждает ответ. Если сумма не совпала с уменьшаемым, значит, в вычислении или проверке допущена ошибка.

Изменение уменьшаемого на несколько единиц изменяет разность на столько же, а увеличение вычитаемого уменьшает разность на такое же число. Это происходит потому, что уменьшаемое задаёт исходное количество: если его стало больше, то после удаления той же части останется больше. А если увеличить вычитаемое, из исходного количества уберут больше, и остаток станет меньше. Например, 20 − 6 = 14, а 20 − 8 = 12: вычитаемое увеличили на 2, и разность уменьшилась на 2.

Вычитание не обладает переместительным свойством: при перестановке уменьшаемого и вычитаемого обычно получается другое число. Например, 11 − 4 = 7, но 4 − 11 не равно 7. В первом действии из одиннадцати убирают четыре, а во втором исходное число уже меньше того, которое нужно убрать. Поэтому правило сложения a + b = b + a к вычитанию применять нельзя.

Вычитание и разность

Сначала найди в нужной строке правило, а затем сравни его с примером. Особенно полезна строка о проверке: она показывает, какое сложение должно восстановить исходное число. Строки про ноль и одинаковые числа помогают быстро вычислять простые разности.

Разбор задач

Вычислите 73 − 28 и назовите уменьшаемое, вычитаемое и разность.

Нужно выполнить вычитание, а затем определить названия чисел по их местам в записи. Для удобства можно вычитать столбиком: сначала единицы, потом десятки. В разряде единиц из 3 нельзя вычесть 8, поэтому займём один десяток у числа 7. После этого в единицах будет 13, а десятков останется 6.

1. Вычитаем единицы: 13 − 8 = 5.
2. Вычитаем десятки: 6 − 2 = 4.
3. Получаем 73 − 28 = 45. Проверяем: 45 + 28 = 73.
4. Первое число 73 — уменьшаемое, второе число 28 — вычитаемое, ответ 45 — разность.

Ответ: 45; уменьшаемое — 73, вычитаемое — 28, разность — 45. Проверка сложением подтверждает вычисление, потому что в сумме снова получилось исходное число 73. Названия компонентов определяются порядком чисел, а не величиной ответа.

Решите уравнения: x − 37 = 58 и 94 − x = 26.

В уравнении неизвестное число обозначено буквой x. Сначала надо определить, каким компонентом вычитания оно является: первым, то есть уменьшаемым, или вторым, то есть вычитаемым. Затем применить связь вычитания со сложением. После нахождения числа подставим его в уравнение и проверим, что равенство верно.

1. В x − 37 = 58 неизвестно уменьшаемое. Чтобы его найти, сложим разность и вычитаемое: x = 58 + 37 = 95.
2. Проверим: 95 − 37 = 58, значит, x = 95 подходит.
3. В 94 − x = 26 неизвестно вычитаемое. Чтобы его найти, вычтем разность из уменьшаемого: x = 94 − 26 = 68.
4. Проверим: 94 − 68 = 26, значит, x = 68 подходит.

Ответ: в первом уравнении x = 95, во втором x = 68. Способ поиска зависит от места неизвестного числа в записи. Проверка подстановкой показывает, сохранилось ли равенство.

В магазине было 480 тетрадей. Утром продали 135 тетрадей, а днём — на 28 тетрадей больше. Сколько тетрадей осталось?

Нельзя сразу вычитать из общего количества число 28: оно показывает не количество проданных днём тетрадей, а насколько дневная продажа больше утренней. Поэтому сначала найдём продажу за день, затем общее число проданных тетрадей. В конце вычтем это количество из первоначального остатка. Запишем действия по смыслу условия.

1. Найдём, сколько тетрадей продали днём: 135 + 28 = 163.
2. Найдём, сколько продали за оба раза: 135 + 163 = 298.
3. Вычтем проданное количество из первоначального: 480 − 298 = 182.

Ответ: осталось 182 тетради. Порядок действий выбран так, потому что дневная продажа неизвестна и выражена сравнением с утренней, а общее число проданных тетрадей нужно узнать до вычисления остатка. Проверка здравым смыслом: продано меньше 480, поэтому оставшееся число положительное.

Типичные ошибки

Уменьшаемое и вычитаемое иногда путают, потому что оба числа стоят рядом со знаком минус. Но их роли разные: уменьшаемое записывают первым, а вычитаемое — вторым. Чтобы проверить себя, прочитай действие словами: «из первого числа вычесть второе». Например, в 16 − 9 уменьшаемое — 16, вычитаемое — 9.

При проверке иногда складывают уменьшаемое с разностью или меняют слагаемые местами неверно. Проверка нужна, чтобы восстановить исходное число: разность плюс вычитаемое должны дать уменьшаемое. Если в примере 16 − 9 = 7, проверяем именно 7 + 9 = 16. Необходимое равенство можно записать рядом с ответом и сверить его.

Некоторые считают, что после перестановки чисел ответ не меняется, потому что помнят переместительное свойство сложения. Это свойство относится к сложению, а не к вычитанию: 12 − 5 = 7, но 5 − 12 не даёт 7. Чтобы избежать ошибки, не меняй местами числа в действии и проверь, какое из них является исходным количеством. Тогда станет ясно, что перестановка меняет смысл и результат.

Ошибки возникают и в действиях с нулём или одинаковыми числами: например, записывают a − 0 = 0 или a − a = a. Ноль при вычитании не убирает ничего, поэтому число остаётся прежним; если же убрать всё количество, ничего не останется. Проверь правило на предметах: 5 − 0 = 5, а 5 − 5 = 0. Перед вычислением отдельно вспомни, какой из этих двух случаев дан.

Связь с другими темами

Для вычитания полезно знать состав числа и смысл сложения: эти знания позволяют представить действие как поиск неизвестного слагаемого. Названия компонентов сложения помогают понять, почему вычитание связано с восстановлением суммы. Умение находить неизвестный компонент пригодится при решении уравнений на уменьшаемое и вычитаемое. В текстовых задачах вычитание помогает сравнивать величины и находить остаток; оно применяется также при вычислениях с длиной, массой и другими величинами.

Что запомнить

• Вычитание обозначают знаком «−».
• Первое число в разности — уменьшаемое, второе — вычитаемое.
• Результат вычитания называют разностью.
• Чтобы проверить вычитание, к разности прибавляют вычитаемое.
• При вычитании нуля число не изменяется.
• Разность числа и самого себя равна нулю.
• Вычитание нельзя выполнять, меняя местами уменьшаемое и вычитаемое.