16.1. Что такое площадь фигуры?

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Её можно сравнивать: выяснять, какая фигура занимает больше места или одинаково ли оно. Площадь также можно измерить, выбрав подходящую единицу и посчитав, сколько таких единиц помещается внутри фигуры. Это полезно, когда нужно не только сравнить поверхности, но и выразить их размер числом.

Равные фигуры — фигуры, которые полностью совпадают при наложении. Если одну фигуру можно совместить с другой так, что их границы совпадут, они занимают одинаковое место на плоскости. Поэтому равные фигуры имеют одинаковую площадь, даже если одна из них повёрнута или перенесена в другое место. Это свойство позволяет сравнивать фигуры без подсчёта клеток.

Единичный квадрат — квадрат, выбранный за единицу измерения площади. Его размер задаёт, какую площадь мы будем считать за одну единицу: если стороны квадрата равны 1 см, единицей будет площадь такого квадрата. Чтобы найти площадь фигуры, подсчитывают, сколько выбранных квадратов укладывается внутри неё. Без указания размера единичного квадрата одно число не сообщает, какую площадь измерили.

Единицы площади — это квадратные единицы измерения, например квадратный сантиметр и квадратный метр. Один квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см, а один квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м. Название напоминает, что измеряют площадь квадратами, а не отрезками. Квадратные единицы помогают записывать результат измерения поверхности.

Как это устроено

Площадь сначала можно сравнить без вычислений: фигуры накладывают друг на друга. Если одна целиком помещается внутри другой, она не занимает больше места, чем та, которая её покрывает. Причина в том, что при наложении вся меньшая фигура оказывается частью большей, а у большей остаются ещё участки или их границы совпадают. Если же меньшая не помещается внутри большей, одного такого сравнения недостаточно.

Когда наложить фигуры неудобно, их можно изобразить на клетчатой бумаге и посчитать одинаковые клетки. Клетка служит маленьким квадратом, поэтому одинаковое число целых клеток означает одинаковую площадь в клетках. Если границы проходят через часть клетки, учитывают полные клетки и оценивают неполные вместе: несколько кусочков могут составить целую клетку. Такой подсчёт даёт приближённый ответ, если границы не совпадают с линиями сетки.

Чтобы получить площадь числом, выбирают единичный квадрат и выясняют, сколько таких квадратов укладывается внутри фигуры. Например, если внутри помещаются двенадцать квадратов со стороной 1 см, площадь равна 12 см². Выбор размера квадрата важен: число без единицы не показывает, сколько места занимает фигура. Поэтому вместе с результатом всегда называют квадратную единицу.

Фигуру иногда удобно разделить на несколько частей, площадь которых найти проще. Если части не перекрываются, каждая точка исходной фигуры относится ровно к одной из них, и ни один участок не пропадает и не считается дважды. Поэтому площадь всей фигуры равна сумме площадей частей. Это правило позволяет находить площадь сложной фигуры, не пытаясь измерить её целиком одним действием.

При смене единичного квадрата меняется числовое значение площади. Чем меньше квадрат, тем больше таких квадратов потребуется, чтобы заполнить то же место; чем больше квадрат, тем меньше их поместится. Например, квадраты со стороной 2 см занимают больше места, чем квадраты со стороной 1 см. Поэтому число, полученное при измерении, нельзя сравнивать с другим числом, если единицы площади разные.

Как сравнивать и находить площадь фигуры

Таблица помогает выбрать способ в зависимости от того, как выглядят фигуры и что о них известно. Сначала определите, можно ли совместить фигуры или удобно ли посчитать одинаковые клетки. При разбиении на части обязательно проверьте, что части не перекрываются.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге изображены две фигуры, каждая из которых целиком занимает 8 одинаковых клеток. Сравните их площади. Форма фигур может быть разной, поэтому по внешнему виду сравнивать их ненадёжно. Посчитаем одинаковые клетки, которые задают одну и ту же единицу площади.

1. В первой фигуре насчитано 8 клеток.
2. Во второй фигуре также насчитано 8 клеток.
3. Клетки одинаковы по размеру, значит, сравнение выполнено в одной и той же единице.

Ответ: площади фигур равны и составляют по 8 клеток. Это верно, даже если границы фигур выглядят по-разному. Равное число одинаковых квадратов означает равную площадь.

Задача 2. Фигура составлена из двух частей площадью 6 см² и 9 см². Найдите площадь всей фигуры. Сначала проверим, можно ли использовать сложение площадей: части должны вместе составлять всю фигуру и не перекрывать друг друга. В условии фигура именно составлена из двух частей, поэтому общую область повторно считать не нужно.

1. Запишем площади частей: 6 см² и 9 см².
2. Сложим их: 6 + 9 = 15.
3. Оставим единицу измерения, так как обе части измерены в квадратных сантиметрах.

Ответ: площадь всей фигуры равна 15 см². Мы сложили площади, потому что части не перекрываются. Если бы они накладывались, площадь общей области была бы учтена дважды.

Задача 3. Одна фигура занимает 12 квадратов со стороной 1 см. Выразите её площадь в квадратных сантиметрах и объясните, что изменится, если измерять квадратами со стороной 2 см. Здесь важно сначала определить, какая единица выбрана: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Затем сравним его с квадратом со стороной 2 см.

1. Каждый маленький квадрат имеет площадь 1 см².
2. Двенадцать таких квадратов дают 12 см².
3. Квадрат со стороной 2 см занимает площадь 4 см², то есть столько же места, сколько четыре квадрата со стороной 1 см.
4. В площади 12 см² поместятся 12 ÷ 4 = 3 таких больших квадрата.

Ответ: площадь фигуры равна 12 см². При измерении квадратами со стороной 2 см числовое значение будет 3, если фигура целиком составляется из таких квадратов. Площадь не стала меньше: изменилась выбранная единица измерения.

Типичные ошибки

Площадь принимают за длину. Длина показывает протяжённость отрезка или стороны, а площадь — размер поверхности внутри границ. Путаница возникает, потому что и длину, и площадь выражают числами. Проверьте себя: если речь идёт о покрытии поверхности, ответ должен быть в квадратных единицах, а не в сантиметрах.

Сравнивают фигуры только на глаз. Кажется, что вытянутая или широкая фигура больше, но внешний вид не всегда помогает оценить, сколько места она занимает. Так происходит, потому что форма может отвлекать от самой площади. Проверьте вывод наложением фигур или подсчётом одинаковых квадратов.

Складывают площади перекрывающихся частей. Если два участка накладываются, их общая часть попадает в оба слагаемых и учитывается дважды. Эту ошибку легко допустить, когда фигуру делят мысленно и не следят за границами частей. Перед сложением убедитесь, что части не перекрываются; если перекрываются, общую область нельзя прибавлять повторно.

Записывают площадь в сантиметрах. Сантиметр измеряет длину, поэтому запись площади в сантиметрах не указывает размер поверхности. Ошибка возникает из-за привычки использовать знакомую единицу длины. Проверьте обозначение: у площади должны быть квадратные единицы, например см² или м².

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать фигуры наложением и считать клетки, нужно уметь различать квадрат и прямоугольник. Эти знания помогают выбрать удобный способ измерения и не перепутать форму клетки с её площадью. Понятие площади пригодится при изучении формул площади прямоугольника и квадрата. Оно также встречается в практических задачах: например, когда нужно определить размер поверхности пола или количество материала для покрытия.

Что запомнить

• Площадь характеризует, сколько места занимает фигура на плоскости.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь можно измерять, считая одинаковые квадраты.
• Размер единицы площади влияет на числовое значение результата.
• Площадь фигуры из неперекрывающихся частей равна сумме площадей этих частей.
• Площадь записывают в квадратных единицах.