§ 16. Площадь плоской фигуры

Определения и обозначения

Площадь плоской фигуры — величина, которая показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Например, лист бумаги занимает больше места на столе, чем маленькая наклейка. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры по занимаемому месту и решать задачи о покрытии поверхностей.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения площади. Такой квадрат служит меркой: мы считаем, сколько раз он помещается внутри фигуры. Без общей мерки сравнивать результаты измерения было бы неудобно.

Единица площади — величина, которой измеряют площади; например, квадратный сантиметр или квадратный метр. Выбранная единица показывает, какого размера квадраты используют при измерении. Она нужна, чтобы числовой результат был понятен и его можно было сравнить с другими измерениями.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; обозначается см². Маленькими поверхностями удобно измерять именно в квадратных сантиметрах. Запись 12 см² означает, что площадь равна двенадцати таким квадратам, а не двенадцати сантиметрам длины.

Как это устроено

Площадь позволяет сравнивать фигуры по тому, сколько места они занимают. Фигура с длинным контуром не обязательно занимает больше места: например, узкая вытянутая фигура может иметь длинную границу, но небольшую площадь. По одному внешнему виду тоже трудно решить, какая площадь больше: форма и направление фигуры могут обманывать глаз. Поэтому фигуры измеряют одной меркой или сравнивают, разбивая их на части.

Для измерения удобно взять одинаковые квадратные клетки и покрыть ими фигуру. Если клетки заполняют её полностью, не оставляя дырок и не накладываясь друг на друга, площадь равна числу этих единичных квадратов. Пропуск приведёт к тому, что часть фигуры не будет учтена, а наложение заставит посчитать одну область дважды. Если граница проходит через клетку, можно использовать более мелкую сетку или аккуратно объединять части клеток.

У площади есть важные свойства, которые помогают сравнивать и вычислять её. Равные фигуры совпадают при наложении, поэтому они занимают одинаковое место и имеют равные площади. Если фигуру разрезать на части, которые не перекрываются, вся её поверхность состоит из поверхностей этих частей. Значит, площадь целой фигуры равна сумме площадей частей — это удобно, когда целиком считать клетки трудно.

Число при измерении зависит от размера выбранного квадрата. Если мерка маленькая, в ту же фигуру поместится больше таких квадратов; если мерка большая — меньше. Например, поверхность может покрываться большим количеством квадратных сантиметров и меньшим количеством квадратных дециметров. Поэтому сравнивать числовые значения можно только зная, в каких единицах они получены.

Единицы площади записывают с помощью квадратных единиц: см² читают «квадратный сантиметр», а м² — «квадратный метр». Маленькая цифра 2 показывает, что речь идёт о площади квадрата, а не о длине стороны. Записывать нужно и число, и единицу: запись 12 см² сообщает и величину площади, и мерку. Одно число 12 было бы неполным ответом, потому что неизвестно, какими квадратами измеряли фигуру.

Единицы измерения площади

В таблице сначала выбери единицу, подходящую по размеру к измеряемой поверхности: маленькие предметы удобно измерять в см², а большие — в м². Столбец со стороной показывает, какой квадрат служит меркой. В ответе обязательно указывай обозначение из второго столбца.

Разбор задач

Фигура покрыта без пропусков и наложений 18 одинаковыми клетками, площадь каждой клетки равна 1 см². Нужно узнать общую площадь. Поскольку каждая клетка — одна квадратная единица, достаточно посчитать клетки и записать, какими единицами измеряли. Условие уже сообщает, что покрытие точное, поэтому исправлять или объединять части не требуется.

1. Определим, сколько единичных квадратов покрывает фигуру: их 18.
2. Площадь каждой клетки равна 1 см², поэтому 18 таких клеток занимают 18 см².
3. Запишем результат с квадратной единицей, чтобы было понятно, что измеряли площадь.

Ответ: 18 см².

Фигура составлена из двух частей площадью 7 см² и 9 см², которые не перекрываются. Нужно найти площадь всей фигуры. Поскольку части не перекрываются, их можно сложить: ни один участок не будет учтён дважды. Обе площади выражены в одинаковых единицах, поэтому складывать их можно сразу.

1. Запишем площади частей: 7 см² и 9 см².
2. Сложим их: 7 + 9 = 16.
3. Оставим единицу измерения: общая площадь выражена в см².

Ответ: 16 см².

На клетчатой бумаге изображены две фигуры из целых клеток и половин клеток. Чтобы сравнить их, нужно определить площадь каждой фигуры в одинаковых клетках. Одна половина клетки сама по себе меньше целой, но две подходящие половины составляют целую клетку. После подсчёта сравним полученные числа: большая площадь будет у фигуры с большим числом единичных клеток.

1. Для каждой фигуры отдельно посчитаем целые клетки.
2. Объединим половины: две половины считаем за одну целую клетку.
3. Сложим целые клетки и полученные из половин, затем сравним два результата.

Ответ: площадь больше у той фигуры, у которой получилось больше единичных клеток; числовое сравнение возможно после подсчёта клеток на рисунке.

Типичные ошибки

Некоторые пытаются определить площадь по длине контура или числу сторон. Так происходит потому, что границу фигуры легко заметить, но площадь характеризует её внутреннюю часть. Проверь себя: измеряешь ли ты, сколько квадратов помещается внутри, а не сколько нужно пройти вдоль края?

Не стоит сравнивать фигуры только на глаз: необычная форма может казаться большой или маленькой. Зрительная оценка ошибается, потому что поворот и вытянутость меняют впечатление, но не дают точного числа. Проверь сравнение измерением одинаковыми квадратами или разбиением фигур на части.

Ошибка — считать клетки, не проверив, что они одинаковы и покрывают фигуру без пропусков и наложений. Разные по размеру клетки нельзя считать одной и той же меркой, а дырки и двойной счёт меняют результат. Перед подсчётом проверь сетку и убедись, что каждая часть фигуры покрыта ровно один раз.

Запись только числа или линейной единицы, например см, не сообщает правильную площадь. Это часто случается, когда забывают, что считают квадраты, или путают площадь с длиной. Проверь ответ: после числа должна стоять квадратная единица, например см², а не см.

Связь с другими темами

Для работы с площадью нужно уметь различать геометрические фигуры, считать клетки и понимать, что равные фигуры имеют одинаковую форму и размер. Эти умения помогают правильно покрывать фигуру мерками и сравнивать результаты. Если фигуры разделены на части, важно не терять и не считать дважды ни одну из них.

Площадь пригодится при изучении периметра, но эти величины отвечают на разные вопросы: площадь описывает внутреннюю часть, а периметр — границу фигуры. В жизни площадь помогает узнать, сколько материала понадобится, чтобы покрыть поверхность. Например, можно оценить количество покрытия для пола или листа бумаги.

Что запомнить

• Площадь характеризует часть плоскости, занимаемую фигурой.
• Площадь измеряют с помощью единичных квадратов.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь фигуры, составленной из неперекрывающихся частей, равна сумме площадей этих частей.
• Площадь записывают числом и квадратной единицей измерения.
• Для измерения одной и той же фигуры меньшими единичными квадратами потребуется больше квадратов.