16.4. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов можно разместить внутри этой фигуры. Её обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах: квадратных сантиметрах (см²), квадратных метрах (м²) и так далее. Квадратная единица получается, когда единицу длины умножают саму на себя.

Основание треугольника — сторона, которую выбрали для вычисления площади. Обычно её обозначают буквой a. Основание не обязательно должно быть нижней стороной на рисунке: им можно считать любую сторону, если правильно выбрать связанную с ней высоту.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр — это отрезок, образующий с этой прямой угол 90°, а его длину обозначают буквой h. Высоту можно провести к разным сторонам треугольника, поэтому при смене основания меняется и соответствующая высота.

Как это устроено

Представим треугольник с основанием a и высотой h. Если добавить к нему такой же треугольник, получится прямоугольник или параллелограмм с тем же основанием и той же высотой. Площадь всей получившейся фигуры равна a · h, потому что для прямоугольника площадь находят умножением длины на ширину, а высота играет роль расстояния между параллельными сторонами. Два одинаковых треугольника делят эту фигуру поровну, поэтому площадь одного из них равна половине произведения a · h.

Из этого рассуждения получается формула: S = a · h / 2. Сначала умножают длину основания на длину соответствующей высоты, затем результат делят на два. Деление необходимо именно потому, что треугольник занимает половину достроенной фигуры, а не всю её площадь. Если числа неудобны для умножения, можно сначала разделить на два тот множитель, который делится без остатка.

Основание и высоту нельзя выбирать независимо друг от друга. Если взять одну сторону как основание, высотой будет перпендикуляр из противоположной вершины к этой стороне или её продолжению. Перед вычислением также проверяют единицы: сантиметры и метры нельзя сразу перемножать, их сначала приводят к одной единице. Из формулы можно получить другие правила: h = 2S / a, если ищем высоту, и a = 2S / h, если ищем основание.

Связь основания, высоты и площади треугольника

Сначала определите, какие величины даны в условии, а затем выберите строку с подходящей формулой. Проверьте, что основание и высота соответствуют друг другу и выражены в одинаковых единицах. В ответе для площади используйте квадратную единицу, а для основания или высоты — обычную единицу длины.

Разбор задач

Задача 1. Основание треугольника равно 8 см, соответствующая высота — 5 см. Найдём площадь. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется.

1. Записываем формулу: S = a · h / 2.
2. Подставляем данные: S = 8 · 5 / 2 = 40 / 2 = 20.
3. Проверяем единицу: при умножении сантиметров на сантиметры получаются квадратные сантиметры.

Ответ: 20 см². Важно, что число 5 — это высота, проведённая именно к стороне длиной 8 см. Если бы была дана другая высота, её нельзя было бы подставлять вместе с этим основанием.

Задача 2. Площадь треугольника равна 30 см², основание — 10 см. Нужно найти соответствующую высоту. Неизвестной является h, поэтому используем преобразованную формулу h = 2S / a.

1. Умножаем известную площадь на два: 2S = 2 · 30 = 60 см².
2. Делим результат на основание: h = 60 / 10 = 6 см.
3. Проверяем: 10 · 6 / 2 = 30, значит найденная высота подходит.

Ответ: 6 см. Такой способ равносилен поиску числа, которое после умножения на 10 и деления на 2 даст 30. Проверка по исходной формуле помогает заметить ошибку в преобразовании.

Задача 3. Участок треугольной формы имеет основание 1,2 м и высоту 50 см. Найдём площадь в квадратных сантиметрах. Сначала переводим 1,2 м в сантиметры: 1,2 м = 120 см.

1. Записываем одинаковые единицы: a = 120 см, h = 50 см.
2. Применяем формулу: S = 120 · 50 / 2 = 6000 / 2 = 3000.
3. Записываем квадратную единицу, потому что перемножались сантиметры.

Ответ: 3000 см². Нельзя было подставить в формулу числа 1,2 и 50 без перевода. В таком случае единицы не согласованы, и полученный результат не имел бы правильного смысла.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить основание на высоту и не разделить результат на два. Так происходит, когда формулу треугольника путают с формулой площади прямоугольника. Проверьте себя: в записи обязательно должно быть S = a · h / 2.

Вторая ошибка — взять высоту, проведённую к другой стороне. У выбранных основания и высоты должна быть общая связь: высота идёт из противоположной вершины к прямой основания. Если сомневаетесь, найдите угол 90° и убедитесь, что перпендикуляр касается именно выбранной стороны или её продолжения.

Третья ошибка — назвать высотой наклонную сторону. Высота обязана быть перпендикулярной основанию, а наклонная сторона обычно образует с ним не прямой угол. Проверьте наличие отметки или условие задачи: нужен угол 90°, а не просто отрезок от вершины до стороны.

Четвёртая ошибка — подставить длины в разных единицах. Например, нельзя без перевода умножать 1,2 м на 50 см и сразу записывать ответ в см². Сначала переведите всё в метры или сантиметры, а затем проверьте квадратную единицу ответа.

Связь с другими темами

До изучения площади треугольника нужно уметь находить площадь прямоугольника. Это помогает понять, почему произведение основания на высоту сначала даёт площадь прямоугольной или параллелограммной фигуры, а треугольник занимает только её половину.

Формула треугольника пригодится при изучении площадей других многоугольников. Сложную фигуру можно разделить на несколько треугольников, найти площадь каждого, а затем сложить результаты.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула: S = a · h / 2.
• К одному основанию относится высота, проведённая именно к нему.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника, если использовать соответствующую высоту.
• Длину основания и высоту перед вычислением приводят к одинаковым единицам.
• Площадь выражают в квадратных единицах.