"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Чтобы измерить его, выбирают меру — единичный куб — и выясняют, сколько таких кубов занимает тело или помещается внутри него. Размер куба задаёт единицу измерения: например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Если одинаковые кубики лежат слоями, их общее число находят умножением. При сравнении объёмов важно пользоваться одинаковыми единицами, а при переходе между кубическими единицами учитывать три измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Объёмы можно сравнивать: одно тело занимает больше места, другое — меньше. Чтобы узнать объём точно, его измеряют выбранной единицей, а не только оценивают на глаз.
Единичный куб — куб, который выбрали за меру объёма. Объём тела определяют, выясняя, сколько таких кубов помещается внутри или занимает место тела. Эта мера помогает перейти от сравнения «больше или меньше» к числу.
Кубический сантиметр — объём куба, ребро которого равно 1 см. Его обозначают см³ и читают «кубический сантиметр». Эта единица удобна для небольших объёмов; показатель ³ напоминает, что измеряется объём, а не длина.
Кубический дециметр — объём куба с ребром 1 дм, его обозначают дм³. Он крупнее кубического сантиметра и подходит для измерения большего объёма. Между этими единицами есть точная связь, потому что 1 дм равен 10 см.
Чтобы измерить объём, сначала выбирают куб, который будет единицей, а затем выясняют, сколько таких кубов занимает тело. Это похоже на измерение длины линейкой: результат зависит от выбранной меры. Если одну и ту же вещь измерять кубиками разного размера, количество кубиков получится разным, хотя сам объём тела не изменится. Поэтому при записи результата всегда указывают единицу.
Куб удобен в качестве меры потому, что у него одинаковая форма со всех сторон и его можно укладывать вплотную. Длина ребра показывает размер куба по каждому направлению — в длину, ширину и высоту. Число кубов, которое удалось уложить, сообщает, сколько раз выбранная мера содержится в теле. Например, единичный куб с ребром 1 см задаёт объём 1 см³.
Иногда выбранными кубами нельзя заполнить тело без остатка: кусочек пространства остаётся меньше одного такого куба. Тогда берут кубы меньшего размера, то есть переходят к более мелкой единице. Это позволяет измерить остаток точнее и записать объём более подробно. Как и при измерении длины, меньшая единица даёт более точный результат.
В прямоугольном параллелепипеде одинаковые кубики удобно укладывать ровными слоями. Сначала считают кубики в одном слое, а затем — сколько таких слоёв помещается по высоте. Поскольку каждый слой устроен одинаково, общее число кубиков находят умножением числа кубиков в слое на число слоёв. Так не приходится пересчитывать каждый кубик по одному.
При переходе к кубической единице с ребром, увеличенным в несколько раз, меняется не только одна длина. Куб становится больше одновременно по длине, ширине и высоте, поэтому число маленьких кубиков увеличивается по каждому из трёх направлений. Если ребро стало больше в 10 раз, получится 10 рядов в одном направлении, 10 — во втором и 10 слоёв в третьем. Всего это 10 · 10 · 10 = 1000 маленьких кубов.
| Единица | Объём куба с ребром | Обозначение | Связь с соседней единицей |
|---|---|---|---|
| Кубический сантиметр | 1 см | см³ | 1 дм³ = 1000 см³ |
| Кубический дециметр | 1 дм | дм³ | 1 дм³ = 1000 см³ |
| Кубический метр | 1 м | м³ | 1 м³ = 1000 дм³ |
| Соотношение между кубическими единицами | Ребро увеличено в 10 раз | — | Объём увеличен в 1000 раз |
Чтобы пользоваться таблицей, найди нужную единицу и посмотри, какому ребру куба она соответствует. При переходе к соседней более крупной единице каждый сантиметр или дециметр по ребру заменяется десятью меньшими отрезками. Поэтому объём меняется в 1000 раз, а не в 10.
Задача 1. Первое тело можно заполнить 8 единичными кубами, а второе — 11 такими же кубами. Сравним объёмы. Кубы одинаковые, значит, измерения выполнены одной и той же мерой, и числа можно сопоставить напрямую.
Ответ: объём второго тела больше. Если бы кубы были разного размера, сравнить только их количество было бы нельзя: сначала пришлось бы выразить оба объёма в одинаковых единицах.
Задача 2. В одном слое прямоугольного параллелепипеда помещается 12 кубиков, а слоёв всего 4. Нужно узнать, сколько кубиков занимает весь параллелепипед. Поскольку слои одинаковые, удобно сложить 12 четыре раза, или выполнить умножение.
Ответ: объём параллелепипеда равен объёму 48 таких кубиков. Умножение учитывает кубики во всех слоях, поэтому считать каждый слой отдельно не нужно.
Задача 3. Переведём 3 дм³ в кубические сантиметры. Одного равенства 1 дм = 10 см недостаточно, если просто заменить единицу: кубический объём включает три направления. Поэтому сначала выясним, сколько кубиков объёмом 1 см³ помещается в одном кубе объёмом 1 дм³.
Ответ: 3 дм³ = 3000 см³. Проверка: при переходе от дм³ к более мелким см³ число должно увеличиться, а не уменьшиться.
Ошибка: при переходе от сантиметров к дециметрам разделить объём на 10. Так поступают, потому что помнят соотношение единиц длины, но для куба важны три измерения. Проверь себя: увеличь число отрезков отдельно по длине, ширине и высоте — получится множитель 10 · 10 · 10, то есть 1000.
Ошибка: сравнить числа, выраженные в разных единицах, например 3 дм³ и 500 см³, не переводя одно из значений. Число может быть меньше, а сам объём — больше, если единицы разные. Перед сравнением вырази оба объёма в см³ или оба в дм³, а затем сравни получившиеся числа.
Ошибка: посчитать кубики только в одном слое и принять это за весь объём. Такое случается, когда внимание сосредоточено на видимом слое. Проверь, сколько слоёв есть по высоте, и умножь число кубиков в одном слое на их количество.
Ошибка: записать объём в сантиметрах, например «12 см», вместо кубических сантиметров. Сантиметрами измеряют длину, а объём показывает, сколько места занимает тело. Проверь, что при ответе об объёме указана кубическая единица — см³, дм³ или другая.
Для измерения объёма нужно знать единицы длины и уметь измерять ребро куба: именно ребро задаёт размер единицы объёма. Также пригодится умножение, потому что кубики часто считают рядами и слоями, а не по одному. Дальше этот способ поможет находить объём прямоугольного параллелепипеда, разбираться с вместимостью сосудов и решать практические задачи, где нужно сравнить, сколько места занимают предметы.
Что именно показывает объём тела?
Объём показывает, сколько места занимает тело. Его можно представить как число одинаковых единичных кубов, которыми заполнено тело.
Почему единицей объёма служит куб?
Куб удобно использовать как меру: его можно сравнивать с телом и укладывать в нём рядами и слоями. Длина ребра куба задаёт размер единицы объёма.
Чем см³ отличается от см?
Сантиметр (см) — единица длины, например длины ребра. Кубический сантиметр (см³) — единица объёма: это объём куба с ребром 1 см.
Как узнать, сколько единичных кубов помещается в прямоугольном параллелепипеде?
Посчитай кубики в одном слое, а затем число слоёв. Умножь эти числа: результат покажет общее количество кубиков.
Почему при переводе кубических единиц нужно учитывать три измерения?
У куба есть длина, ширина и высота, поэтому увеличение ребра в несколько раз увеличивает число маленьких кубов по каждому из трёх направлений. Например, при переходе от куба с ребром 1 см к кубу с ребром 1 дм получаем 10 · 10 · 10 = 1000 маленьких кубов.
17.3. Как измеряется объём тела?
