"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Объём показывает, сколько места тело занимает в пространстве. Его измеряют кубическими единицами: за одну такую единицу принимают объём куба с ребром в одну единицу длины. Если тела можно совместить наложением, их объёмы одинаковы. А когда тело разбито на неперекрывающиеся части, объём целого находят сложением объёмов этих частей. При этом результат не зависит от того, на сколько частей и как именно разделили тело.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько места тело занимает в пространстве. Его измеряют в кубических единицах, потому что тело имеет длину, ширину и высоту. Объём помогает сравнивать вместимость и размеры разных тел.
Единичный куб — куб, ребро которого равно одной единице длины. Его объём принимают за одну кубическую единицу: например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. С помощью таких кубов удобно представлять, чем измеряется объём.
Равные тела — тела, которые можно совместить наложением. При совмещении одно тело полностью совпадает с другим, поэтому они занимают одинаковое место и имеют одинаковый объём. Это определение позволяет сравнивать тела, не подсчитывая кубики по отдельности.
Сложное тело — тело, которое можно разбить на части без наложений и промежутков. Объём такого тела находят по объёмам его частей. Это удобно, когда всё тело измерить трудно, а отдельные части проще рассмотреть.
Чтобы измерить объём, сравнивают тело с единичным кубом: выясняют, сколько таких кубов заняло бы то же место. Каждый куб заполняет одну кубическую единицу пространства. Если удалось уложить кубы без дырок и наложений, их количество показывает объём тела. Поэтому единицы объёма называют кубическими: речь идёт о трёхмерном пространстве, а не о плоской поверхности.
У равных тел объёмы одинаковы, потому что такие тела можно совместить. Если мысленно заполнять одно из них единичными кубами, то при наложении те же кубы займут и второе тело. Значит, в обоих случаях получится одно и то же количество кубических единиц. Это рассуждение работает независимо от формы тела.
Когда тело составлено из нескольких частей, его объём равен сумме объёмов этих частей, если части не перекрываются. Каждая часть занимает свою область пространства, а вместе они заполняют всё тело. Поэтому при сложении не теряется и не считается повторно ни одна часть. Если же между частями есть промежутки, они не относятся к объёму самого тела.
Сумма объёмов частей не зависит от того, как именно выполнено разбиение. Причина в том, что после разрезания или мысленного разделения исходное тело остаётся тем же: меняется только способ описать его части. Например, одну часть можно разделить ещё на две и заменить её объём суммой объёмов этих частей. Общая сумма для всего тела при этом сохранится.
Равные объёмы и равные тела — не одно и то же. Если два тела занимают одинаковое количество пространства, это ещё не значит, что одно можно совместить с другим. Например, длинный тонкий брусок и короткий толстый брусок могут иметь одинаковый объём, но разную форму. Равенство тел требует совпадения при наложении, а для равенства объёмов достаточно одинакового количества кубических единиц.
| Свойство | Что оно означает | Как использовать |
|---|---|---|
| Равные тела имеют равные объёмы | Если тела можно совместить наложением, их объёмы одинаковы. | Сравнивать объёмы тел, не пересчитывая кубические единицы. |
| Объём целого тела равен сумме объёмов неперекрывающихся частей | Каждая часть учитывается один раз, если части не накладываются. | Находить объём составного тела сложением. |
| Объём не зависит от способа разбиения тела на части | Другое разбиение не меняет само тело и его объём. | Выбирать такое разбиение, с которым удобнее считать. |
| Объём измеряют в кубических единицах | Единица объёма соответствует кубу с ребром в одну единицу длины. | Записывать результат, например, в см³ или м³. |
Сначала выберите свойство, которое подходит к условию: сравнение равных тел или сложение частей. Перед вычислением проверьте, что части не перекрываются, а единицы измерения совпадают. Для ответа обязательно укажите кубическую единицу.
Два тела можно совместить наложением. Нужно сравнить их объёмы. Поскольку при наложении тела полностью совпадают, они занимают одинаковое место в пространстве.
Ответ: объёмы тел равны.
Тело разбили на две неперекрывающиеся части объёмами 12 см³ и 9 см³. Нужно найти объём целого тела. Части не накладываются, значит, объём каждой можно учесть ровно один раз.
Ответ: 21 см³.
Фигурное тело составлено из трёх частей объёмами 24 см³, 18 см³ и 7 см³. Затем одну часть разбили на две меньшие. Нужно найти объём целого и выяснить, изменится ли ответ. Из условия следует, что новые части вместе заменяют прежнюю часть, а само тело остаётся прежним.
Ответ: объём тела равен 49 см³; после разбиения он не изменится.
Ошибка — считать, что одинаковые объёмы обязательно означают равные тела. Так думают, потому что объём у них совпадает, но он описывает только количество занимаемого места, а не форму. Проверьте себя: можно ли совместить тела наложением; если нельзя, они не равны, даже при одинаковых объёмах.
Ошибка — складывать объёмы частей, которые перекрываются. Общая область тогда учитывается дважды, хотя в исходном теле она встречается один раз. Перед сложением представьте, занимают ли части разные участки пространства; при наложении сначала нужно устранить повторный учёт общей части.
Ошибка — складывать значения, выраженные в разных единицах, например см³ и м³. Числа в таких единицах показывают разные количества пространства, поэтому их нельзя сразу складывать. Проверьте записи и сначала переведите все объёмы в одну и ту же единицу.
Ошибка — использовать квадратные единицы для объёма. Квадратные сантиметры измеряют площадь, то есть размер плоской поверхности, а объём относится к телу в пространстве. Проверьте размерность ответа: для объёма нужны кубические единицы, например см³, а не см².
Для работы с объёмом полезно знать, что такое куб и прямоугольный параллелепипед, а также уметь измерять длину и площадь. Длина помогает описывать ребро единичного куба, а представление о кубе — понять, откуда берутся кубические единицы. Сложение объёмов пригодится, когда нужно вычислить объём составного тела. Для этого его разбивают на более простые части и находят объём каждой из них.
Почему объём измеряют кубическими, а не квадратными единицами?
Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве, то есть учитывает длину, ширину и высоту. Кубическая единица — это объём куба, а квадратные единицы используют для измерения площади плоской поверхности.
Что называют единичным кубом?
Единичный куб — это куб, ребро которого равно одной единице длины. Его объём принимают за одну кубическую единицу, например 1 см³, если ребро измеряют в сантиметрах.
Всегда ли у равных тел одинаковые объёмы?
Да. Равные тела можно совместить наложением, поэтому они занимают одно и то же место и содержат одинаковое количество единичных кубов. Но одинаковые объёмы сами по себе ещё не доказывают, что тела равны.
Можно ли сложить объёмы частей, если они перекрываются?
Нельзя просто сложить их объёмы: общая часть будет учтена дважды. Для сложения части должны составлять целое тело без наложений и промежутков.
Зависит ли объём тела от того, на сколько частей его разбили?
Нет, объём целого тела не зависит от способа разбиения. Если все части вместе составляют исходное тело и не перекрываются, сумма их объёмов всегда будет одной и той же.
17.2. Некоторые свойства объёма
