"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Объём тела показывает, сколько места оно занимает в пространстве. Это помогает сравнивать предметы и измерять, сколько кубиков помещается внутри или сколько воды войдёт в сосуд. Для измерения выбирают куб известного размера и считают, сколько таких кубов составляет тело. Например, объём куба с ребром 1 см равен 1 см³. Чтобы сравнивать и складывать объёмы, их записывают в одинаковых единицах: кубических сантиметрах, дециметрах или метрах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, которая показывает, сколько места тело занимает в пространстве. Например, большой ящик занимает больше места, чем маленькая коробка, поэтому его объём больше. Объёмы разных тел можно сравнивать, а также измерять с помощью выбранной меры. Это понятие нужно, чтобы описывать не только размеры предмета, но и занимаемое им пространство.
Единичный куб — куб, который приняли за меру объёма. Чтобы измерить тело, мысленно или на практике заполняют его одинаковыми кубами и считают их количество. Если кубики укладываются без промежутков и не накладываются друг на друга, их число показывает объём тела в выбранных единицах. Единичный куб нужен, чтобы измерение было понятным и одинаковым для всех.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром длиной 1 см. Его обозначают 1 см³, то есть «один кубический сантиметр». Маленькие предметы удобно измерять именно такими единицами. Запись см³ напоминает, что речь идёт о пространстве внутри куба, а не о длине его ребра.
Кубический дециметр — объём куба с ребром длиной 1 дм, его обозначение — дм³. Один кубический дециметр равен одному литру, поэтому эту единицу часто используют для измерения вместимости сосудов. Для перевода в кубические сантиметры нужно помнить: 1 дм³ = 1000 см³. Это соотношение помогает выбирать удобную единицу и сравнивать объёмы.
Длина, площадь и объём описывают разные свойства. Длина отвечает на вопрос, насколько протяжён отрезок, например какова длина карандаша. Площадь показывает размер плоской поверхности: можно узнать, сколько места занимает лист на столе. А объём относится к телу, у которого есть длина, ширина и высота, потому что оно занимает место вокруг себя.
Объёмы иногда можно сравнить простым наложением: если одно тело целиком помещается в другое, его объём не больше. Но для предметов сложной формы это не всегда удобно, и по внешнему виду сравнение может обмануть. Тогда используют одинаковые единичные кубы: заполняют ими тела или представляют такое заполнение. Тело, для которого требуется больше кубов одного размера, имеет больший объём.
Чтобы измерение объёма было точным и его результаты могли понимать разные люди, нужна общая единица. Ею может быть куб определённого размера, например куб с ребром 1 см. Число таких кубов, необходимых для заполнения тела без пробелов и наложений, и есть численное значение его объёма в выбранных единицах. Поэтому объём записывают числом и названием единицы, например 8 см³.
Куб с ребром 1 см — наглядная мера для небольших объёмов. Если тело составлено из восьми таких кубиков, то его объём равен 8 см³, потому что оно занимает столько же места, сколько все восемь единичных кубов вместе. В записи 1 см³ маленькая цифра 3 означает, что единица кубическая: куб имеет три измерения. Это не означает, что нужно умножить число сантиметров на три.
Связь между кубическими единицами зависит от того, сколько маленьких кубиков помещается в большом по каждому измерению. В 1 дм содержится 10 см, поэтому вдоль каждого ребра куба с ребром 1 дм укладывается по 10 кубиков с ребром 1 см. В слоях их тоже по 10 рядов, а слоёв — 10: всего 10 × 10 × 10 = 1000 кубиков. Значит, 1 дм³ = 1000 см³, а не 10 см³.
| Единица | Объём куба с ребром | Обозначение | Связь с соседней единицей |
|---|---|---|---|
| Кубический сантиметр | 1 см | см³ | 1000 см³ = 1 дм³ |
| Кубический дециметр | 1 дм | дм³ | 1000 дм³ = 1 м³ |
| Кубический метр | 1 м | м³ | 1000 м³ = 1 dam³ |
В таблице указано, какому кубу соответствует каждая единица и как её записывают. При переходе к более крупной единице объёма число уменьшается в 1000 раз: например, 3000 см³ = 3 дм³. Сверяйся с таблицей, чтобы не перепутать кубические единицы с единицами длины.
Фигура составлена из 8 одинаковых кубиков объёмом 1 см³ каждый. Найдите её объём. Здесь уже известен размер одного кубика и их количество, поэтому нужно выяснить, сколько единичных объёмов составляют всю фигуру. Считать рёбра фигуры не требуется: достаточно подсчитать кубики, из которых она состоит.
Ответ: 8 см³. Умножение показывает общий объём всех одинаковых частей. Если бы кубики были не единичными или имели разные объёмы, пришлось бы учитывать объём каждого из них отдельно.
Коробка заполнена кубиками объёмом 1 см³. В одном слое помещается 12 кубиков, а слоёв — 5. Найдите объём коробки. Сначала нужно найти общее число кубиков: одного слоя недостаточно, ведь коробка заполнена несколькими слоями. Поскольку в каждом слое одинаковое число кубиков, удобно умножить количество в слое на число слоёв.
Ответ: объём коробки равен 60 см³. Проверить рассуждение можно обратным действием: разделить 60 кубиков на 5 слоёв и получить 12 кубиков в каждом. Так мы использовали и число кубиков в слое, и количество слоёв.
В сосуд налили 2 дм³ воды, затем добавили ещё 750 см³. Выразите общий объём воды в кубических сантиметрах. Складывать 2 и 750 сразу нельзя: эти числа относятся к разным единицам. Сначала переведём дециметры кубические в сантиметры кубические, сохранив сам объём воды.
Ответ: 2750 см³. Перевод единиц не меняет объём, а только способ его записи. Проверка простая: обе части выражены в кубических сантиметрах, значит их можно складывать.
Ошибка: измерять объём квадратными единицами, например см². Так происходит, когда объём путают с площадью: обе величины связаны с размером, но площадь относится к поверхности, а объём — к телу. Проверь себя: если предмет занимает место в трёх направлениях, ответ должен быть в кубических единицах — см³, дм³ или м³.
Ошибка: записывать объём куба с ребром 1 см как 1 см. Так записана длина ребра, а не объём куба, поэтому забывают верхнюю цифру 3. Чтобы проверить ответ, спроси себя, что измерялось: длина ребра или пространство, которое занимает весь куб. Для объёма единица должна быть кубической: 1 см³.
Ошибка: считать, что 1 дм³ = 10 см³. Число 10 верно для длины: в одном дециметре 10 сантиметров, но куб имеет три измерения. В каждом направлении помещается по 10 маленьких кубиков, и всего их 10 × 10 × 10 = 1000. Проверяй переход между кубическими единицами умножением числа отрезков по трём измерениям.
Ошибка: складывать или сравнивать числа объёмов в разных единицах без перевода. Например, 2 дм³ и 750 см³ — это не просто числа 2 и 750: за ними стоят разные меры. Сначала вырази все объёмы в одной единице, используя соотношения между кубическими единицами. Перед вычислением проверь, совпадают ли обозначения у слагаемых.
Для изучения объёма нужно знать единицы длины и площади, а также понимать, что такое куб и прямоугольный параллелепипед. Эти знания помогают представить тело, его рёбра и слои единичных кубов. Позже понятие объёма пригодится при изучении формул для геометрических тел. Оно также помогает решать практические задачи о вместимости сосудов и упаковок: например, выяснять, сколько воды войдёт в ёмкость.
Чем объём отличается от площади?
Площадь показывает размер части плоскости, например поверхности стола. Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве, поэтому его измеряют кубическими единицами.
Как понять, что означает 1 см³?
Это объём куба, у которого каждое ребро длиной 1 см. Такой куб служит мерой: объём тела можно представить как число кубиков этого размера.
Почему объём измеряют кубическими, а не квадратными единицами?
Тело занимает место в трёх направлениях: в длину, ширину и высоту. Квадратные единицы описывают только плоскую поверхность, а кубические учитывают все три измерения.
Почему в одном кубическом дециметре 1000 кубических сантиметров?
В 1 дм по длине помещается 10 отрезков по 1 см. В кубе такие ряды укладываются по 10 в трёх направлениях: 10 × 10 × 10 = 1000 кубиков объёмом 1 см³.
Можно ли складывать объёмы, записанные в разных единицах?
Сначала нужно выразить оба объёма в одной единице, а потом складывать. Например, 2 дм³ — это 2000 см³, поэтому с 750 см³ можно работать как с числами 2000 и 750.
17.1. Что такое объём тела?
