"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Объём тела показывает, сколько места оно занимает. Это понятие помогает сравнивать предметы и вычислять, сколько места нужно для их размещения или заполнения. Объём измеряют кубами — например, кубическими сантиметрами и кубическими дециметрами. Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножают его длину, ширину и высоту, предварительно выраженные в одинаковых единицах. Объёмы частей составного тела можно сложить, если части не перекрываются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Например, большой ящик занимает больше места, чем маленькая коробка. Сравнение объёмов помогает понять, какое тело больше по занимаемому месту, а измерение позволяет выразить эту разницу числом.
Единица объёма — это объём куба, у которого ребро равно выбранной единице длины. Чтобы измерить объём тела, его мысленно заполняют такими одинаковыми кубами и считают их. Выбор единицы помогает всем измерять объём одинаковым способом и сравнивать результаты.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см. Его обозначают см³, то есть «кубический сантиметр». Этой единицей удобно измерять объём небольших предметов, а число кубиков показывает, сколько места они занимают.
Кубический дециметр — объём куба с ребром 1 дм; его обозначают дм³. Так как 1 дм равен 10 см, в кубе с ребром 1 дм помещается 10 слоёв по 10 рядов из 10 кубиков объёмом 1 см³. Поэтому 1 дм³ = 1000 см³, и эту единицу удобно использовать для более крупных тел.
Объёмы можно сравнивать, мысленно совмещая тела или заполняя их одинаковыми кубами. При совмещении видно, выступает ли одно тело за границы другого, а при заполнении можно сравнить количество кубиков. Если одинаковых кубиков в одном теле помещается больше, оно занимает больше места. Этот способ особенно полезен, когда форму тел трудно сравнить на глаз.
Для измерения выбирают единичный куб и считают, сколько таких кубов заполняет тело. Куб удобен тем, что его можно укладывать ровными рядами и слоями без пустых промежутков. Число кубиков показывает объём в выбранных единицах. Именно поэтому единицы объёма связаны с кубом и называются кубическими.
Прямоугольный параллелепипед заполняют кубиками, укладывая их слоями. Сначала считают число кубиков в одном слое: оно зависит от длины и ширины основания. Затем умножают это число на количество слоёв по высоте. Так становится понятно, почему для нахождения объёма нужно учитывать все три измерения тела.
Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны a, b и c, то его объём находят по формуле V = a · b · c. Важно, чтобы все три размера были выражены в одной единице: тогда произведение можно записать в кубических единицах. Например, при измерениях в сантиметрах результат получится в см³. Формула быстро заменяет подсчёт каждого отдельного кубика.
Составное тело состоит из нескольких простых частей, например двух прямоугольных параллелепипедов. Его можно мысленно разделить на эти части, найти объём каждой и сложить результаты. Сложение подходит, если части не перекрываются: иначе одни и те же места будут учтены дважды. Такой способ превращает сложную задачу в несколько более простых.
| Что рассматриваем | Как определить или вычислить | Обозначение результата |
|---|---|---|
| Куб с ребром 1 см | Объём такого куба принимают за единицу объёма | 1 см³ |
| Куб с ребром 1 дм | 1 дм³ = 10 · 10 · 10 см³ = 1000 см³ | 1 дм³ |
| Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b и c | Длину умножают на ширину и высоту: V = a · b · c | Кубические единицы измерения рёбер |
Сначала определите, какие величины заданы: объём единичного куба или размеры прямоугольного параллелепипеда. Для параллелепипеда проверьте, что длина, ширина и высота выражены в одной единице. В последнем столбце указана запись результата: для измерений в сантиметрах это будут кубические сантиметры.
В задаче дан единичный куб — куб, который используют как меру объёма. Нужно определить, сколько таких кубических сантиметров содержится в объёме самого куба. Поскольку измеряемое тело и единица объёма совпадают, дополнительных вычислений не требуется.
Ответ: 1 см³.
Перед вычислением проверим, подходят ли размеры для формулы. Длина, ширина и высота заданы в сантиметрах, значит, их можно перемножить без перевода единиц. Получится число кубических сантиметров, потому что учитываются три измерения.
Ответ: 30 см³.
Тело состоит из двух частей, и их объёмы уже известны. Предположим, что части не перекрываются: тогда каждая занимает свою часть общего пространства. Значит, общий объём можно получить сложением, а единицу измерения нужно сохранить.
Ответ: 39 см³.
Записывают объём в сантиметрах, а не в кубических сантиметрах. Так происходит, когда путают длину и объём: сантиметрами измеряют одно измерение, а кубическими сантиметрами — пространство. Проверьте себя: если перемножали три размера в сантиметрах, ответ должен быть в см³. Единица в записи результата так же важна, как число.
Перемножают только два измерения. Иногда длину и ширину принимают за всё необходимое, потому что их произведение напоминает формулу площади прямоугольника. Но площадь описывает основание, а объём зависит ещё и от высоты. Для проверки найдите три измерения и убедитесь, что каждое учтено в формуле V = a · b · c.
Подставляют размеры в разных единицах. Например, длина может быть записана в сантиметрах, а высота — в дециметрах; тогда числа нельзя сразу перемножать. Ошибку легко не заметить, если смотреть только на формулу. Перед вычислением приведите все размеры к одной единице, а после проверьте, что единица объёма соответствует этой длине.
Переводят дм³ в см³ как длину. Число 10 относится к одному ребру: объём зависит от трёх измерений, поэтому нужно умножить 10 на себя три раза. Из-за этого 1 дм³ = 1000 см³, а не 10 см³. Для проверки представьте куб в виде 10 слоёв, в каждом из которых 10 рядов по 10 маленьких кубиков.
Чтобы изучать объём, полезно уметь находить площадь прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда: подсчёт кубиков в одном слое связан с измерениями его основания. Также нужно переводить единицы длины, потому что размеры для формулы объёма должны быть выражены одинаково. Эти умения помогают не только вычислить ответ, но и выбрать верную единицу измерения.
Понятие объёма пригодится при изучении вместимости сосудов и решении практических задач. Например, можно оценить, сколько воды поместится в ёмкости или сколько места займут коробки. В таких задачах важно различать объём тела и вместимость сосуда, но оба понятия связаны с занимаемым пространством.
Чем объём отличается от площади?
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, а объём — сколько места занимает тело. Площадь измеряют квадратными единицами, например см², а объём — кубическими, например см³.
Почему единицы объёма называют кубическими?
За единицу объёма принимают объём куба с ребром в одну единицу длины. Поэтому единицы объёма называют кубическими: например, кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см.
Почему в формуле объёма нужно перемножить три измерения?
Два измерения показывают, сколько кубиков помещается в одном слое: длина и ширина. Третье измерение показывает число слоёв, поэтому нужно умножить длину на ширину и на высоту.
Можно ли складывать объёмы частей тела?
Да, если части не перекрываются. Найдите объём каждой части отдельно, а затем сложите полученные значения.
Почему 1 дм³ равен 1000 см³, а не 10 см³?
В одном дециметре 10 сантиметров, и это число относится к каждому из трёх измерений куба. Поэтому 1 дм³ = 10 · 10 · 10 см³ = 1000 см³.
§17. Объём тела
