"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Линия — геометрический объект, который можно представить как след движения точки. Линии различаются по форме: прямая не изгибается и продолжается в обе стороны, кривая меняет направление плавно, а ломаная состоит из соединённых отрезков. У ломаной отрезки называют звеньями, а места их соединения — вершинами. Линии помогают описывать контуры фигур: например, стороны многоугольника образуют замкнутую ломаную.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линия — геометрический объект, который можно представить как след движения точки. Например, если вести карандашом по бумаге, его кончик оставит след. Такое представление помогает мысленно увидеть линию как непрерывный путь, а не как набор отдельных точек.
Прямая линия не изгибается и не имеет конца. Её можно продолжать в обе стороны сколько угодно, поэтому на рисунке обычно показывают лишь часть прямой. Это свойство отличает прямую от отрезка: у отрезка есть два конца.
Кривая линия изгибается, то есть меняет направление не только в отдельных углах. Она может быть замкнутой, когда её начало и конец соединены, или незамкнутой, когда они не соединены. Это определение помогает отличать кривую по форме и проверять, образует ли она контур.
Ломаная линия — линия из последовательно соединённых отрезков. Отрезки называют звеньями, а места их соединения — вершинами. Эти названия нужны, чтобы считать части ломаной и точно описывать, как они соединены.
Представь точку, которая движется по листу, а за ней остаётся след. Если путь не прерывается, этот след можно назвать линией. Разные движения дают разные формы: точка может идти прямо, плавно поворачивать или менять направление резкими шагами. Поэтому линии различают не только по длине, но и по тому, как они устроены.
Прямая не изгибается, потому что её направление всё время остаётся одним и тем же. Если продолжать её влево или вправо, она не закончится: у прямой нет крайних точек. На рисунке её изображают ограниченным кусочком лишь потому, что лист бумаги конечен, а саму прямую мысленно продолжают дальше.
Кривая плавно меняет направление: на ней нет отдельных прямых звеньев, соединённых углами. Ломаная, напротив, состоит из прямых отрезков, а направление меняется в местах их соединения. Такое сравнение помогает не спутать плавный поворот с резким: у ломаной можно указать каждое звено и каждую вершину.
Чтобы узнать, замкнута ли линия, найди её начало и конец и проверь, соединены ли они. Если между ними нет разрыва, линия образует замкнутый контур; если разрыв остаётся, она незамкнутая. Это правило подходит и для кривых, и для ломаных, потому что замкнутость зависит от соединения концов, а не от формы пути.
У ломаной звенья считают по каждому отрезку между соседними вершинами. У незамкнутой ломаной есть два крайних конца, которые не соединены, поэтому число вершин на одну больше числа звеньев: при четырёх звеньях будет пять вершин. У замкнутой ломаной крайние концы соединены, и отдельного начала или конца не остаётся, поэтому звеньев столько же, сколько вершин.
Сравнивай линии по форме, устройству и соединению концов. В таблице слова «замкнутая» и «незамкнутая» описывают не отдельную форму, а то, соединены ли начало и конец линии. Для каждой линии сначала определи её устройство, а затем проверь концы.
| Вид линии | Как устроена | Замкнутая или незамкнутая | Пример |
|---|---|---|---|
| Прямая линия | Не изгибается, продолжается в обе стороны | Не имеет конца, поэтому к ней обычно не применяют это деление | Линия на линейке, продолженная мысленно |
| Кривая линия | Плавно меняет направление | Может быть замкнутой или незамкнутой | Контур круга; дугообразный путь |
| Ломаная линия | Состоит из соединённых отрезков-звеньев | Может быть замкнутой или незамкнутой | Контур треугольника; ломаный путь |
| Замкнутая линия | Её начало и конец соединены | Замкнутая | Контур круга |
| Незамкнутая линия | Её начало и конец не соединены | Незамкнутая | Дуга с двумя свободными концами |
Задача 1. Нужно определить, какие из изображённых линий прямые, кривые и ломаные. Самих изображений в условии нет, поэтому применим способ, по которому можно проверить любой рисунок. Сначала смотрим на форму пути, затем ищем отдельные отрезки и места их соединения.
Ответ: прямую узнаём по отсутствию изгиба, кривую — по плавному изгибу, ломаную — по прямым звеньям и вершинам.
Задача 2. У ломаной четыре звена. Сколько у неё вершин, если она незамкнутая, и сколько, если замкнутая? Здесь важно не запоминать числа отдельно, а проследить, что происходит с концами звеньев. В незамкнутой линии крайние концы остаются раздельными, а в замкнутой соединяются.
Ответ: у незамкнутой ломаной пять вершин, у замкнутой — четыре.
Задача 3. Составь замкнутую ломаную из пяти звеньев и назови её вершины и звенья. Можно обозначить вершины буквами А, Б, В, Г и Д, а затем соединить их отрезками по порядку. Чтобы получился замкнутый контур, последнее звено должно вернуться к первой вершине.
Ответ: замкнутая ломаная АБВГД имеет пять звеньев и пять вершин.
Ошибка — считать любую линию из прямых частей прямой. Так думают, потому что каждое звено ломаной само по себе является отрезком. Проверь, меняется ли направление в местах соединения: если отрезки образуют угол, перед тобой ломаная, а не прямая.
Кривую линию иногда путают с ломаной, потому что обе могут поворачивать. У кривой поворот плавный, а у ломаной направление меняется в вершинах, где сходятся прямые звенья. Чтобы проверить себя, попробуй выделить на линии отдельные отрезки и точки их соединения.
Незамкнутую ломаную могут назвать замкнутой, если она похожа на контур или её концы расположены близко. Сходство и расстояние между концами не решают вопрос: важно, соединены ли они. Проследи путь до конца и проверь, есть ли разрыв между последним и первым концами.
У замкнутой ломаной иногда считают на одну вершину больше, чем звеньев, по правилу для незамкнутой. Но в замкнутой ломаной крайние концы соединены, поэтому отдельной дополнительной вершины не возникает. Пересчитай звенья и точки их соединения по кругу: числа должны совпасть.
Чтобы разбираться в линиях, полезно уметь различать точку и отрезок, а также находить концы отрезка. Отрезки нужны для понимания устройства ломаной: каждый из них становится её звеном, а соединённые концы образуют вершины. Если уверенно находить концы, легче определить, где ломаная продолжается и замкнута ли она.
Понятие ломаной пригодится при изучении многоугольников. Их стороны соединяются в вершинах и образуют замкнутую ломаную. Поэтому знание звеньев, вершин и правила замыкания помогает описывать контуры фигур.
Чем кривая линия отличается от ломаной?
Кривая плавно меняет направление, и на ней нельзя выделить прямые звенья. Ломаная состоит из отрезков, которые соединяются в вершинах.
Может ли ломаная линия быть замкнутой?
Да. Ломаная замкнута, если её последний конец соединён с началом.
Как называются части ломаной и места их соединения?
Части ломаной — это звенья, то есть отрезки. Места, где соединяются соседние звенья, называются вершинами.
Как понять, что линия замкнута?
Проверь, соединены ли начало и конец линии. Если они соединены, линия замкнута; если между ними есть разрыв — незамкнута.
Почему у замкнутой ломаной число вершин равно числу звеньев?
У каждого звена есть начало и конец, а в замкнутой ломаной конец последнего звена соединяется с началом первого. Поэтому каждому звену соответствует вершина, и их количество совпадает.
2.2. Какие линии бывают?
