2.1. Точка. Линия

Определения и обозначения

Точка — геометрическая фигура, которой обозначают точное положение на плоскости. На чертеже её отмечают маленькой точкой или кружком, а рядом пишут заглавную латинскую букву, например A. Отметка помогает увидеть нужное место, а буква позволяет говорить о нём и не путать его с другими точками.

Линия — геометрическая фигура, состоящая из точек. Она может быть прямой или кривой: например, след от карандаша может изгибаться, а проведённая ровно черта — нет. Понятие линии помогает описывать формы и показывать, как точки расположены друг относительно друга.

Прямая линия — линия, которая не изгибается. Её проводят по линейке и продолжают в обе стороны; на рисунке показывают только часть, чтобы обозначить прямую. Прямую можно назвать строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: AB. Так понятно, о какой линии идёт речь.

Как это устроено

Геометрические фигуры можно строить из точек: линия состоит из точек, расположенных вместе в определённом порядке. Точка при этом обозначает не маленький кусочек плоскости, а лишь место на ней. Её изображение делают видимым, потому что без отметки на бумаге невозможно было бы показать нужное положение. Поэтому чертёж помогает представить объект, а не задаёт его настоящий размер.

Точка и линия — идеальные геометрические объекты, то есть их мысленно представляют точнее, чем получается нарисовать. У точки нет размера, а у линии нет ширины, хотя карандаш оставляет след с толщиной. Так происходит потому, что бумага и инструменты физические, а геометрия описывает идеальные формы. Поэтому при чтении чертежа учитывают смысл условного изображения, а не толщину следа или размер кружка.

Чтобы понять, лежит ли точка на линии, сравнивают их расположение на чертеже. Если отметка точки попадает на линию, говорят: «точка A лежит на линии a»; если она находится в стороне — точка не лежит на ней. Это различие важно, потому что по нему описывают чертёж и строят фигуры. Проверяя себя, проследи, проходит ли сама линия через отметку точки, а не просто рядом с ней.

Две линии пересекаются, когда у них есть общая точка, то есть точка, принадлежащая обеим линиям. Место, где линии встречаются, отмечают и называют точкой пересечения. Если на чертеже две линии только близко подходят, но не имеют общей точки, пересечения нет. Поэтому нужно смотреть, соединяются ли линии в одном месте, а не только оценивать расстояние между ними.

Точка и линия: сравнение

Сначала определи, что именно показано на чертеже: отдельное положение или фигура из точек. Затем сравни способ изображения и обозначения. Строка о чертеже подскажет, какие отношения между точками и линиями можно описать.

Разбор задач

Задача 1. Обозначь на чертеже три точки заглавными латинскими буквами и запиши их названия.

Нужно отметить три разных положения и назвать каждое так, чтобы обозначения не повторялись. Подойдут любые заглавные латинские буквы. Например, можно выбрать A, B и C.

1. Поставь на чертеже три отдельные отметки. Они изображают точки, но не показывают их размер.
2. Возле первой отметки напиши A, возле второй — B, возле третьей — C. Проверь, что все буквы заглавные и разные.
3. Запиши названия по буквам, чтобы каждой отметке соответствовало своё обозначение.

Ответ: точки A, B и C.

Задача 2. Проведи прямую через точки A и B. Отметь точку C на прямой, а точку D — вне неё.

Сначала нужно построить прямую, которая проходит через обе заданные точки, а затем разместить ещё две точки в разных положениях. Точки A и B задают, где провести линию. Для C и D важно не перепутать расположение относительно неё.

1. Отметь A и B и приложи линейку так, чтобы её край прошёл через обе точки.
2. Проведи по линейке ровную линию и обозначь её, например, строчной буквой a. На рисунке она изображает прямую.
3. Поставь C прямо на линии a. Точку D отметь в стороне, чтобы линия через неё не проходила.
4. Проверь построение: A, B и C лежат на a, а D не лежит на a.

Ответ: прямая a проходит через A, B и C; точка D находится вне неё.

Задача 3. Проведи две линии, которые пересекаются в точке O, и ещё одну линию, не проходящую через O. Обозначь все линии и точки.

Здесь нужно показать и пересечение, и линию, которая не проходит через заданное место. Общая точка должна принадлежать обеим первым линиям, иначе пересечения в O не получится. Третью линию проводят отдельно от O.

1. Поставь точку O и проведи через неё две разные линии, например a и b. Тогда обе линии имеют общую точку O.
2. Проверь, что линии действительно встречаются в O, а не просто близко подходят друг к другу. Подпиши их строчными буквами a и b.
3. Проведи третью линию c так, чтобы она не проходила через отметку O. Подпиши её и убедись, что O не лежит на c.
4. Если на чертеже отмечены другие точки, назови их заглавными буквами и проверь, что обозначения не повторяются.

Ответ: линии a и b пересекаются в точке O; линия c через O не проходит.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что нарисованная точка имеет размер кружка. Так думают, потому что на бумаге отметку нужно сделать заметной. Кружок лишь показывает положение точки и не задаёт её размер. Проверь себя: буква называет место, а не размер рисунка.

Иногда точку обозначают строчной буквой, а линию — заглавной. Путаница возникает, если не обращать внимания на принятое правило обозначений. Точки обычно называют заглавными латинскими буквами, а линии — строчными или по двум точкам на них. Перед тем как подписать чертёж, сравни вид буквы с тем, что она обозначает.

Толстую черту на бумаге можно принять за линию с шириной. Но толщина появляется из-за карандаша или ручки, а не является свойством геометрической линии. Линия на чертеже условно показывает идеальный объект. Чтобы проверить себя, вспомни, что изображение и сама фигура — не одно и то же.

Ещё одна ошибка — решить, что линии пересекаются, если они расположены близко. Глаз может принять небольшой промежуток за место встречи, особенно на неаккуратном чертеже. Пересечение есть только тогда, когда линии имеют общую точку. Проверь, соединяются ли они в одной отметке; если между ними виден промежуток, общей точки нет.

Связь с другими темами

Для работы с точками и линиями пригодятся умение пользоваться линейкой, знание заглавных и строчных латинских букв и навык читать простой чертёж. Эти умения помогают точно проводить прямые и понимать подписи. Точка и линия станут основой для изучения отрезка, луча, угла и многоугольников. Из них также начинают построение других геометрических фигур.

Что запомнить

• Точка обозначает точное положение.
• Линия состоит из точек.
• Линия на чертеже — условное изображение геометрического объекта.
• Точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами.
• Если две линии имеют общую точку, они пересекаются.
• Общую точку пересекающихся линий называют точкой пересечения.