§ 2. Как можно получить геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек, объединённых по определённому правилу. Фигурой может быть одна точка, линия, плоская область или объёмная форма. Например, круг — плоская фигура, а шар — пространственная. Это понятие помогает описывать форму предметов и рассуждать о ней независимо от того, из чего предмет сделан.

Точка — простейшая геометрическая фигура, у которой нет размеров. На рисунке её обычно показывают маленькой отметкой, а обозначают заглавной латинской буквой: A, B или C. Точка нужна, чтобы отмечать положение на плоскости и задавать места, через которые проходят линии.

Линия — геометрическая фигура, состоящая из точек. Она может быть прямой, если не изгибается, или кривой, если меняет направление. Линии помогают соединять точки, ограничивать плоские фигуры и показывать их границы.

Плоская фигура целиком расположена на плоскости, например квадрат или треугольник. Пространственная фигура занимает часть пространства и имеет объём: к таким формам относятся куб и шар. Это различие позволяет понять, нужно ли описывать только длину и ширину фигуры или также её высоту.

Как это устроено

Геометрическую фигуру можно получить, рассматривая реальный предмет и выделяя его форму. Например, у обложки книги можно изучать прямоугольную форму, не принимая во внимание цвет и материал. Так появляется геометрическая модель — упрощённое описание предмета, которое сохраняет нужную для задачи особенность. Модель удобна потому, что позволяет сравнивать формы разных предметов, даже если они сделаны из разных материалов.

Если поставить карандаш на бумагу, получится отметка, изображающая точку. Когда карандаш движется и оставляет след, возникает линия, потому что его последовательные положения образуют множество точек. При движении без поворотов направление не меняется, и след получается прямым; если менять направление, линия изгибается. Поэтому для получения прямой руки обычно помогают линейкой, а кривую можно провести от руки.

Простые плоские фигуры удобно строить с помощью чертёжных инструментов. Линейка помогает проводить прямые и отрезки, а угольник — строить прямые углы, поэтому стороны и углы получаются точнее. Пространственные формы получают иначе: их можно слепить или сложить из бумаги, а можно рассмотреть подходящий предмет. Моделирование полезно тем, что позволяет увидеть объёмную форму и поворачивать её, изучая с разных сторон.

Новую фигуру можно составить из нескольких простых фигур, соединяя их так, чтобы получилась нужная форма. Можно действовать и наоборот: провести внутри исходной фигуры линию и разделить её на части. Например, отрезок между противоположными вершинами прямоугольника образует две части-треугольника. Такой способ помогает разбирать сложную фигуру на более простые элементы.

Бумагу можно сгибать и разрезать, чтобы получать фигуры и исследовать их устройство. Если согнуть квадрат пополам, линия сгиба разделит его на две равные части; при разрезании по этой линии получатся две одинаковые фигуры. Сгиб даёт возможность сравнить части, не измеряя их сразу линейкой. Разрезание тоже показывает форму частей, но результат зависит от выбранной линии: разные разрезы могут дать неодинаковые фигуры.

Способы получения геометрических фигур

В таблице собраны основные способы получить или исследовать геометрическую фигуру. Выбери способ по задаче: для распознавания формы наблюдай предмет, для точного чертежа используй инструменты, для объёмной модели возьми материал. Сравнивая способы, можно заметить, что фигуры получают и на плоскости, и в пространстве.

Разбор задач

Точки A и B

Условие. На листе отмечены точки A и B. Проведи через них прямую и назови полученную фигуру. Считай, что точки A и B различны. Нужно не просто соединить отметки, а провести прямую, которая продолжается в обе стороны.

1. Приложи край линейки так, чтобы он проходил через обе точки.
2. Проведи по краю линейки линию через A и B и мысленно продолжи её в обе стороны.
3. Назови полученную фигуру прямой AB: две различные точки задают единственную прямую.

Ответ. Получена прямая AB. Линейка помогает провести её без изгибов, а обозначение указывает, через какие точки она проходит. Если бы требовалось соединить только A и B, речь шла бы об отрезке AB, а не о всей прямой.

Прямоугольник и отрезок

Условие. Раздели прямоугольник одним отрезком на два треугольника и опиши полученные фигуры. Требуется выбрать линию внутри прямоугольника так, чтобы она разъединила его на две части. Удобнее начать с вершин: тогда можно понять форму каждой части без измерений.

1. Найди две противоположные вершины прямоугольника.
2. Соедини их отрезком — он называется диагональю прямоугольника.
3. Рассмотри обе части: у каждой есть стороны прямоугольника и проведённая диагональ, поэтому каждая часть является треугольником.

Ответ. Прямоугольник разделён на два треугольника. Они имеют общую сторону — диагональ, а две другие стороны каждого треугольника совпадают со сторонами прямоугольника. Поскольку диагональ проведена из одной вершины к противоположной, части получаются одинаковыми по форме и размеру.

Сгибание бумажного квадрата

Условие. Сгибанием получи из бумажного квадрата две одинаковые части, затем разверни лист и опиши линию сгиба и части. Сгиб нужно сделать так, чтобы половины квадрата совпали. Тогда получится не только наглядная линия, но и способ сравнить части наложением.

1. Сложи квадрат пополам так, чтобы противоположные стороны совпали.
2. Прижми сгиб, затем разверни лист и найди след от сгиба.
3. Сравни области по обе стороны следа: при сгибании они совмещались, значит, они равны.

Ответ. Линия сгиба разделила квадрат на две равные части. Каждая часть — прямоугольник, если квадрат сложен пополам параллельно одной из его сторон. Совпадение половин при сгибании показывает, что они одинаковы, а не только похожи.

Типичные ошибки

Ошибка — считать геометрической фигурой только контур предмета. Так думают, потому что границу проще всего увидеть, однако фигурой может быть точка, линия или вся область внутри контура. Проверь себя: назови, что именно описываешь — границу или заполненную часть. Если объект состоит из точек и имеет геометрическое описание, он может быть фигурой.

Ошибка — путать реальный предмет с его геометрической моделью. Модель передаёт выбранную форму, поэтому ученик иногда приписывает ей цвет, вес или материал самого предмета. Спроси себя, какое свойство сейчас изучается: если задача о форме, остальные признаки можно не учитывать. Например, прямоугольник описывает форму обложки, но не говорит, из чего она сделана.

Ошибка — называть линию прямой лишь потому, что её провели линейкой. Линейка помогает вести карандаш, но линия может получиться с изгибом, если карандаш отклонялся от края. Проверь след взглядом: у прямой нет поворотов и изгибов. При сомнении проведи линию заново, плотно удерживая карандаш у края инструмента.

Ошибка — ожидать, что после разделения всегда получаются одинаковые части. Это предположение возникает, если помнить только примеры аккуратного сгибания, но место разреза может быть любым. Проверь части наложением или сравнением: если они не совпали, значит, равенство не доказано. Равные части получаются не автоматически, а только при подходящем способе разделения.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в способах получения фигур, нужно узнавать точку, прямую, отрезок и простые плоские формы. Эти знания помогают правильно описывать, что построено или получилось после сгиба и разрезания. Позже составление и разделение фигур пригодятся при изучении многоугольников: сложную форму можно рассматривать по частям. Те же действия помогут понять симметрию и подготовят к вычислению площади, когда нужно будет сравнивать или измерять части плоской фигуры.

Что запомнить

• Геометрическая фигура состоит из точек.
• Форму предмета можно изучать, отвлекаясь от его цвета и материала.
• Линии и фигуры можно строить на плоскости чертёжными инструментами.
• Фигуру можно составить из частей или разделить на более простые фигуры.
• Сгибание и разрезание помогают получать геометрические модели.
• Полученные части не обязательно равны.