2.4. Поверхность. Тело

Определения и обозначения

Поверхность — тонкая оболочка, которая ограничивает тело. У листа бумаги поверхность можно считать плоской, а у мяча — кривой: она изгибается во все стороны. Это понятие помогает описать внешнюю границу предмета, не смешивая её с внутренностью.

Тело — часть пространства, ограниченная поверхностью. Например, тело мяча включает не только его оболочку, но и всё пространство внутри неё. Так можно говорить о форме и размере объёмного предмета.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от окружающего пространства. Она может быть плоской, кривой или состоять из участков обоих видов. Такое описание показывает, из каких частей устроена оболочка тела.

Геометрическое тело — математическая модель предмета, в которой учитывают форму и размеры, но не материал и цвет. Поэтому металлическую банку можно рассматривать как цилиндр независимо от её цвета. Модель нужна, чтобы изучать геометрические свойства предмета.

Как это устроено

Реальный предмет мысленно заменяют геометрическим телом, потому что в математике нужно выделить главные признаки. У коробки важны длина, ширина, высота и форма, а картон или рисунок на нём не влияют на геометрическое описание. Так один и тот же способ рассуждения подходит для разных предметов.

Тело и его поверхность различают потому, что они занимают разное положение в пространстве. У мяча есть внутренность, а поверхность находится снаружи и только ограничивает её. Если представить мяч пустым, оболочка останется поверхностью, а пространство внутри будет частью тела.

Тела бывают с плоскими гранями и с кривыми участками поверхности. У коробки грани плоские, потому что каждая из них лежит на плоскости, а у мяча поверхность плавно изгибается. Различие возникает из-за формы границы тела, а не из-за материала предмета.

Одна поверхность может включать части разных видов, если тело имеет неодинаково устроенную границу. У цилиндра два плоских основания соединены с кривой боковой частью. Вместе эти части образуют одну поверхность, потому что все они составляют общую границу одного тела.

При описании формы важно определить, что относится к телу, а что — только к его поверхности. У коробки тело — весь объём внутри границы, а шесть прямоугольных граней образуют его поверхность. Такое различение помогает правильно говорить о форме, площади грани и объёме.

Тело и его поверхность

Сначала найдите в таблице сам объект, а затем сравните его с описанием и примером. В последнем столбце указано главное различие, которое нельзя потерять при ответе. Если у тела несколько видов участков, рассмотрите каждый отдельно.

Таблица особенно полезна при сравнении предметов. Она помогает не называть оболочку всем телом и видеть, как внутренность связана с границей.

Разбор задач

Задача 1

Назовите геометрические тела, на которые похожи коробка, мяч и банка, и укажите, где у каждого тела поверхность.

1. Коробка похожа на прямоугольный параллелепипед, мяч — на шар, банка — на цилиндр.
2. У коробки поверхность состоит из наружных граней, у мяча — из всей округлой оболочки, у банки — из боковой части и двух оснований.
3. В каждом случае отделяем оболочку от внутреннего объёма предмета.

Ответ: коробка — прямоугольный параллелепипед, мяч — шар, банка — цилиндр; поверхность каждого тела является его наружной границей.

Задача 2

Для кубической коробки опишите тело и поверхность: определите, какие части поверхности плоские и как они соединены.

1. Тело коробки — весь объём, заключённый внутри её границы.
2. Её поверхность состоит из шести плоских квадратных граней.
3. Соседние грани соединяются по отрезкам, а вместе все грани образуют замкнутую границу тела.

Ответ: тело коробки объёмное, а его поверхность состоит из шести плоских граней, соединённых сторонами.

Задача 3

Сравните предмет, похожий на цилиндр, с предметом, похожим на шар: укажите плоские и кривые участки их поверхностей.

1. У цилиндра два основания плоские, а боковая поверхность кривая.
2. У шара нет плоских участков: вся его поверхность кривая.
3. Сравниваем именно границы тел, а не их внутренний объём.

Ответ: цилиндр имеет плоские основания и кривую боковую часть, а шар — только кривую поверхность.

Типичные ошибки

Ошибка: называть поверхность самим телом. Так делают, когда оболочку мысленно не отделяют от пространства внутри неё. Проверьте себя вопросом: есть ли у названного объекта внутренняя часть; если да, это тело, а не только поверхность.

Ошибка: считать, что поверхность обязательно плоская. Такое представление появляется из-за знакомства с листом или гранью коробки. Проведите рукой по мячу: изгибающаяся оболочка показывает, что поверхность может быть кривой.

Ошибка: учитывать цвет или материал как геометрические свойства. Их принимают во внимание потому, что в быту они заметны, но геометрическая модель описывает форму и размеры. Проверьте описание: если убрать цвет и заменить материал, форма предмета должна сохраниться.

Ошибка: думать, что поверхность всегда состоит из одинаковых частей. Это происходит, когда рассматривают только куб или только шар. Проверьте тело целиком: у цилиндра основания плоские, а боковая часть кривая.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь различать точку, линию и плоскую фигуру, а также описывать форму знакомых предметов. Эти знания помогают переходить от плоских объектов к объёмным.

Понятия тела и поверхности нужны при изучении многогранников и их граней. Грань является плоской частью поверхности многогранника.

Позже поверхность связывают с площадью, а тело — с объёмом. Поэтому тема готовит к измерениям в пространстве.

Что запомнить

• Тело занимает часть пространства.
• Поверхность ограничивает тело.
• Тело и его поверхность — не одно и то же.
• Поверхность может быть плоской или кривой.
• Поверхность одного тела может состоять из разных частей.
• Геометрическая модель передаёт форму и размеры предмета.