2.5. Разные виды фигур

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек, объединённых общим расположением или формой. К фигурам относятся точка, линия, угол, многоугольник и объёмное тело. Их изображают на чертежах, сравнивают по форме и размерам.

Плоская фигура — фигура, все точки которой лежат на одной плоскости. Примерами служат отрезок, угол, многоугольник и круг. Такое определение помогает отличить фигуру, нарисованную на листе, от тела, имеющего объём.

Объёмная фигура занимает часть пространства и имеет поверхность. К объёмным фигурам относятся куб, шар и цилиндр. У них можно увидеть не только длину и ширину, но и высоту или глубину.

Многоугольник — плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной. Отрезки этой ломаной называют сторонами, а точки их соединения — вершинами. Эти названия нужны, чтобы описывать форму фигуры и считать её элементы.

Как это устроено

Геометрические фигуры делят на плоские и объёмные по тому, где расположены их точки. Если все точки можно разместить на одном листе без «выступания» в глубину, фигура плоская. Если фигура занимает часть пространства, она объёмная. Поэтому нарисованный треугольник остаётся плоским, а изображённый с помощью перспективы куб показывает объёмное тело.

Многоугольник получают так: несколько отрезков соединяют концами, причём последний отрезок возвращается к начальной точке. Получается замкнутая ломаная, которая отделяет внутреннюю часть фигуры от внешней. Каждой вершине соответствуют две стороны, поэтому число сторон многоугольника равно числу его вершин.

Граница фигуры и область внутри неё — разные вещи. Окружность состоит только из точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра, а круг включает и эти точки, и всё пространство внутри. Поэтому окружность можно представить как ободок, а круг — как ободок вместе с заполненной серединой.

Многогранник устроен из плоских многоугольников, которые называют гранями. Отрезки, по которым встречаются две грани, называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Куб является многогранником: его поверхность составлена из шести квадратов, но вся фигура имеет длину, ширину и высоту.

По изображению сначала определяют, есть ли у фигуры объём и какие линии или поверхности видны. Затем считают её элементы: у многоугольника — стороны и вершины, у многогранника — грани, рёбра и вершины. Невидимые части объёмного тела могут быть показаны штриховыми линиями или угадываться по форме, поэтому нельзя считать только видимые элементы.

Виды геометрических фигур и их основные признаки

Пользуйтесь таблицей как подсказкой: сначала определите положение фигуры, затем найдите её элементы. После этого сравните фигуру с примерами в последнем столбце. Так легче не перепутать плоский многоугольник с объёмным многогранником.

Разбор задач

Задача 1

Нужно распределить изображения точки, отрезка, треугольника, круга, куба и шара на плоские и объёмные фигуры. Главный вопрос: лежит ли фигура на плоскости или занимает часть пространства. Одну точку относим к плоским фигурам, если рассматриваем её на чертеже.

1. Точка не имеет длины, ширины и высоты, но на рисунке задаёт положение.
2. Отрезок, треугольник и круг можно полностью расположить на листе, поэтому они плоские.
3. Куб и шар имеют объём и поверхность, уходящую в разных направлениях, поэтому они объёмные.

Ответ: плоские фигуры — точка, отрезок, треугольник и круг; объёмные — куб и шар.

Задача 2

Нужно назвать стороны и вершины пятиугольника и определить число его диагоналей. Обозначим вершины по кругу A, B, C, D, E. Диагональ соединяет две вершины, которые не являются соседними.

1. Стороны — AB, BC, CD, DE и EA.
2. Вершины — A, B, C, D и E; их пять, значит, сторон тоже пять.
3. Из A можно провести диагонали AC и AD, из B — BD и BE, из C — CE; остальные соединения уже посчитаны.

Ответ: стороны — AB, BC, CD, DE, EA; вершин — 5; диагоналей — 5.

Задача 3

На изображении составной фигуры видны треугольник, круг и куб. Нужно определить, какие фигуры использованы, и объяснить, почему куб не является квадратом. Сначала разделим объекты по числу измерений, а затем рассмотрим их элементы.

1. Треугольник и круг — плоские фигуры: их можно нарисовать на одной плоскости.
2. Куб — объёмная фигура, потому что у него есть длина, ширина и высота.
3. Грани куба имеют форму квадратов, но весь куб состоит из шести граней и занимает пространство.

Ответ: использованы плоские треугольник и круг, а также объёмный куб; куб не квадрат, потому что квадрат плоский, а куб объёмный.

Типичные ошибки

Окружность часто называют кругом, потому что в обычной речи они похожи. Ошибка возникает, когда не различают границу и внутреннюю область. Проверьте себя: если рассматривается только ободок, это окружность, а если вместе с серединой — круг.

Не всякий замкнутый рисунок является многоугольником. Его граница должна состоять именно из отрезков, соединённых концами. Проведите пальцем по границе: если встретилась дуга или другая изогнутая линия, это не многоугольник.

Иногда объёмное тело принимают за плоскую фигуру из-за его изображения на листе. Перспективный рисунок куба лишь показывает тело, но не превращает его в квадрат. Проверьте наличие глубины, граней и рёбер.

Число сторон нельзя определять только по видимым линиям на рисунке. Сначала убедитесь, что линии соединены последовательно и образуют замкнутую ломаную. Затем посчитайте отрезки и проверьте, совпало ли число сторон с числом вершин.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать точку, прямую, луч, отрезок, ломаную и угол, а также различать плоскость и пространство. Эти понятия помогают описывать границы фигур.

Дальше знания пригодятся при измерении длины, площади и объёма. Вид фигуры подсказывает, какую величину и каким способом нужно находить.

В жизни это нужно для распознавания фигур на чертежах, построения моделей и решения задач на периметр, площадь и объём.

Что запомнить

• Геометрические фигуры бывают плоскими и объёмными.
• Плоская фигура лежит на плоскости.
• Объёмная фигура занимает часть пространства.
• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной.
• У многоугольника число сторон равно числу вершин.
• Окружность — граница круга, а круг включает внутреннюю область.
• У многогранника есть грани, рёбра и вершины.