§ 8. Круг и окружность

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности и задаёт её положение. Например, если центр обозначен буквой O, то все точки линии удалены от O одинаково.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Он включает не только саму окружность, но и все точки внутри неё. Поэтому круг обозначает всю заполненную область, а окружность — только её границу.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиус обозначают буквой r или отрезком OA, если O — центр, а A — точка окружности. Радиус нужен, чтобы измерять окружность и строить её циркулем.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Его обозначают буквой d. Диаметр помогает находить размер круга и связан с радиусом формулой d = 2r.

Как это устроено

Окружность задаётся центром и расстоянием до её точек, то есть радиусом. Представьте, что одна ножка циркуля стоит в центре, а расстояние между ножками не меняется. При повороте вторая ножка отмечает все точки, удалённые от центра на одно и то же расстояние.

Круг и окружность различаются потому, что линия и область — не одно и то же. Окружность служит границей: она отделяет внутренние точки от внешних. Если закрасить всё внутри границы вместе с самой линией, получится круг.

Любой отрезок от центра до окружности является радиусом. Центр один, а расстояние до каждой точки окружности по определению одинаково. Поэтому радиусы одной окружности не могут отличаться по длине, даже если проведены в разных направлениях.

Диаметр проходит через центр, поэтому его можно разделить на две части в этой точке. От центра до каждого конца диаметра идут радиусы одинаковой длины. Значит, диаметр состоит из двух радиусов и имеет длину d = 2r.

Для построения окружности циркулем сначала отмечают центр. Затем раздвигают ножки циркуля на расстояние, равное заданному радиусу, и закрепляют одну ножку в центре. Если не менять раствор циркуля, вторая ножка проведёт линию на одинаковом расстоянии от центра.

Круг и окружность: основные понятия

В таблице сначала найдите название нужного понятия, а затем прочитайте его назначение. Последний столбец помогает вспомнить главные свойства и формулы. По нему можно проверить, правильно ли вы распознали объект на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

Отметь на рисунке окружность и круг, ограниченный ею. Объясни, чем они отличаются. Представим, что на чертеже есть круглая фигура с линией по краю. Нужно разделить её на границу и область.

1. Окружностью назовём только линию по краю фигуры.
2. Кругом назовём всю область внутри линии вместе с самой линией.
3. Сравним полученные части: линия не содержит внутреннюю область, а круг её содержит.

Ответ: окружность — граница, круг — граница вместе со всей областью внутри неё.

Задача 2

Начерти окружность с центром O и радиусом 3 см. Проведи и обозначь два её радиуса. Сначала нужно построить саму окружность, а затем соединить её центр с двумя точками на линии.

1. Поставь одну ножку циркуля в точку O и раздвинь ножки на 3 см по линейке.
2. Поверни циркуль вокруг точки O, не изменяя расстояние между ножками.
3. Выбери на окружности две точки, например A и B, и проведи отрезки OA и OB.
4. Подпиши OA = 3 см и OB = 3 см, потому что оба отрезка являются радиусами.

Ответ: построена окружность радиуса 3 см; её радиусы OA и OB равны 3 см. Их длины одинаковы, хотя они могут идти в разных направлениях.

Задача 3

Диаметр окружности равен 8 см. Найди радиус и начерти такую окружность. Диаметр состоит из двух равных радиусов, поэтому для нахождения радиуса нужно разделить диаметр пополам.

1. Запиши связь между величинами: d = 2r.
2. Вырази радиус: r = d : 2.
3. Подставь значение: r = 8 : 2 = 4 см.
4. Отметь центр, установи раствор циркуля 4 см и проведи окружность.

Ответ: радиус равен 4 см. Для чертежа нужно взять раствор циркуля 4 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называют окружностью всю область внутри линии. Так происходит из-за привычки называть круглую фигуру одним словом. Проверьте себя: если речь только о границе, это окружность, а граница с внутренней частью — круг.

Ошибка: считают радиусом любой отрезок внутри круга. Радиус обязательно начинается в центре и заканчивается на окружности. Проведите мысленно его концы: если один конец не в центре или другой не на границе, это не радиус.

Ошибка: проводят диаметр так, что он не проходит через центр. Такой отрезок может соединять две точки окружности, но диаметром не будет. Проверьте чертёж: центр должен лежать прямо на отрезке и делить его на две равные части.

Ошибка: путают радиус и диаметр и считают их длины равными. Диаметр включает два радиуса, поэтому он вдвое длиннее. Для проверки используйте формулу d = 2r.

Связь с другими темами

Для изучения круга и окружности нужно уметь распознавать точку, отрезок и прямую, а также измерять длину отрезка линейкой. Эти навыки помогают правильно обозначать центр, радиус и диаметр на чертеже.

Радиус и диаметр пригодятся при изучении других геометрических фигур и решении задач на измерение. По одному из этих размеров можно найти другой, используя равенства d = 2r и r = d : 2.

Что запомнить

• Окружность — замкнутая линия.
• Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
• Центр равноудалён от всех точек окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Диаметр проходит через центр.
• Диаметр равен двум радиусам: d = 2r.