8.1. Как построить круг и окружность?

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, каждая точка которой находится на одном и том же расстоянии от особой точки. Представь след карандаша, который возвращается в начало и не заполняет середину. Окружность нужна, когда требуется обозначить границу круглой фигуры. Например, обводка круглой крышки даёт линию, а не закрашенную область.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой границей. Иными словами, это и линия по краю, и всё пространство внутри неё. Кругом можно назвать, например, нарисованную круглую площадку целиком. Различие пригодится, чтобы точно говорить о границе и о всей фигуре.

Центр окружности — точка, которая находится на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. Если провести от неё отрезки к разным местам линии, они будут равны по длине. Центр помогает задать положение окружности на листе. Его обычно отмечают точкой и обозначают заглавной буквой, например O.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; радиусом также называют длину этого отрезка. Один его конец находится в центре, другой — на линии. Радиус нужен, чтобы указать размер окружности и настроить циркуль. Для одной окружности все такие отрезки имеют одинаковую длину.

Циркуль — чертёжный инструмент с двумя ножками: одна заканчивается иглой, а другая — грифелем. Расстояние между ножками задаёт радиус будущей окружности. Если поставить иглу в центр и вращать циркуль, грифель проведёт линию на постоянном расстоянии от центра. Поэтому циркулем удобно строить точную окружность.

Как это устроено

Окружность получается, когда точка движется вокруг центра, не приближаясь к нему и не удаляясь. Расстояние от центра до движущейся точки всё время остаётся одним и тем же — именно поэтому все точки окружности равноудалены от центра. Если расстояние увеличить, линия станет дальше от центра и окружность будет больше. Так длина радиуса задаёт размер, а положение центра задаёт место окружности на листе.

Чтобы установить нужную длину радиуса, сначала можно измерить её линейкой. Раздвинь ножки циркуля так, чтобы игла стояла у отметки 0, а грифель — у отметки нужного числа сантиметров. Если радиус задан отрезком, приложи к его концам ножки циркуля: тогда расстояние будет перенесено без повторного измерения. После установки береги раствор — так называют расстояние между ножками.

Сначала отметь точку-центр и поставь в неё иглу циркуля. Грифель должен касаться бумаги, а раствор циркуля — оставаться неизменным. Плавно поверни циркуль вокруг иглы, пока линия не замкнётся. Поскольку грифель всё время удалён от центра на одно и то же расстояние, полученная линия является окружностью.

Проведённая замкнутая линия — окружность, но не весь круг. Если мысленно или цветом заполнить область внутри неё, получится круг; его граница тоже входит в круг. Поэтому точка на линии принадлежит и окружности, и кругу, а точка внутри круга не принадлежит окружности. Такое различие помогает правильно называть части построенной фигуры.

Проверить построение можно линейкой: измерь расстояние от отмеченного центра до нескольких точек проведённой линии. Все измерения должны совпадать с заданным радиусом. Если результаты различаются, возможно, игла сдвинулась или раствор изменился. Чем аккуратнее закреплён центр и сохранено расстояние между ножками, тем точнее проверка.

Круг и окружность

Сначала найди в таблице, спрашивают ли о линии или обо всей области. Затем сравни, какие точки входят в понятие: только граничные или также внутренние. В обоих случаях циркуль задаёт радиус и помогает построить границу круга.

Разбор задач

Задача 1. Постройте окружность с центром O и радиусом 3 см. Нужно получить линию, каждая точка которой отстоит от O на 3 см, поэтому именно это расстояние задаёт раствор циркуля. Сначала подготовим инструмент, затем проведём линию вокруг центра. После построения проверим, что размер выбран верно.

1. Поставь линейку так, чтобы измерить расстояние между ножками циркуля.
2. Разведи ножки на 3 см: игла и грифель должны находиться на нужных отметках.
3. Поставь иглу точно в O и, удерживая её на месте, проведи грифелем замкнутую линию.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см. Если расстояние от O до нескольких точек линии равно 3 см, построение выполнено верно. При проверке не нажимай на иглу так, чтобы она сдвинулась.

Задача 2. Дан отрезок AB длиной 4 см. Постройте окружность с центром O, равную ему по радиусу. Здесь важно перенести именно длину отрезка AB, а не обязательно измерять и заново откладывать 4 см. Так можно использовать уже построенную меру даже без шкалы линейки. Игла при этом должна остаться в заданном центре O.

1. Поставь иглу циркуля в точку A, а грифель — в точку B.
2. Не меняя расстояния между ножками, перенеси циркуль к точке O и поставь туда иглу.
3. Поверни циркуль вокруг O и проведи замкнутую линию.

Ответ: получится окружность с центром O и радиусом, равным длине AB, то есть 4 см. Раствор не менялся, поэтому расстояние от O до каждой точки окружности равно AB. Если раскрыть ножки после переноса, длина может измениться, и условие уже не будет выполнено.

Задача 3. Постройте круг с центром O и радиусом 5 см, затем отметьте точку P на его границе и точку Q внутри. Чтобы выполнить условие, сначала требуется циркулем провести границу нужного размера. Затем нужно различить точки на границе и во внутренней области. Это позволит не назвать внутреннюю точку точкой окружности.

1. Разведи циркуль на 5 см по линейке и поставь иглу в O.
2. Проведи окружность, не изменяя раствор: она станет границей круга.
3. Отметь P прямо на линии, а Q — внутри неё, не на границе.

Ответ: построен круг радиуса 5 см; P принадлежит его границе, а Q находится внутри. Расстояние OP равно 5 см, а расстояние OQ меньше 5 см. Поэтому P лежит на окружности, тогда как Q лежит только внутри круга.

Типичные ошибки

Ошибка — называть окружностью всю область внутри линии. Так происходит, потому что в обычной речи «круглым» называют предмет целиком, но в геометрии названия точнее: окружность только ограничивает область, а круг включает её. Проверь себя: если говоришь о точках внутри границы, речь идёт о круге. Если только о линии по краю — об окружности.

Иногда радиусом называют только расстояние и забывают, что это ещё и отрезок от центра до точки окружности. Путаница возникает потому, что словом «радиус» действительно обозначают и сам отрезок, и его длину. Проверь, что именно требуется: указать отрезок или назвать число, например 3 см. В обоих случаях один конец отрезка должен быть в центре, другой — на окружности.

Если менять раствор циркуля во время черчения, расстояния от центра до разных участков линии могут стать неодинаковыми. Это случается, когда циркуль держат неаккуратно или пытаются переставить ножки при проведении. Проверь раствор до начала работы и не трогай его, пока чертишь. При сомнении измерь расстояние от центра до нескольких точек линии.

Если поставить иглу не в отмеченный центр или сдвинуть её во время движения, окружность получится смещённой или неровной. Такая ошибка возможна, когда игла плохо закреплена либо циркуль наклоняется. Перед черчением убедись, что игла стоит точно на отметке центра и не скользит. После построения сравни расстояния от центра до нескольких точек окружности: они должны совпадать.

Связь с другими темами

Для построения пригодятся навыки работы с линейкой: нужно измерить длину отрезка, выбрать нужное расстояние и поставить отметки. Умение точно отмечать точки помогает правильно задать центр и не сдвинуть иглу циркуля. Если задан радиус в сантиметрах, важно правильно совместить линейку и ножки инструмента. Поэтому аккуратное измерение — основа геометрического построения.

Окружности встречаются при изучении геометрических фигур и взаимного расположения точек. Сравнивая расстояние от точки до центра с радиусом, можно понять, лежит ли точка на окружности, внутри круга или вне его. Такое сравнение помогает описывать фигуры и их границы. Навык построения также пригодится, когда понадобится точно переносить расстояния.

Что запомнить

• Окружность — замкнутая линия.
• Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Длина радиуса задаёт раствор циркуля.
• При построении иглу циркуля ставят в центр, а раствор сохраняют неизменным.