"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Окружность — замкнутая линия, каждая точка которой одинаково удалена от центра, а круг — область внутри этой линии вместе с самой границей. Эти понятия помогают описывать круглые фигуры и выполнять геометрические построения. Расстояние от центра до окружности называют радиусом; его удобно откладывать циркулем. Если сравнить расстояние от точки до центра с радиусом, можно понять, лежит ли точка на окружности, внутри круга или снаружи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Замкнутая линия не имеет ни начала, ни конца. Это определение помогает отличить окружность от других линий и представить, какую фигуру можно начертить циркулем.
Центр окружности — точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают заглавной латинской буквой, например O. Знание центра помогает строить окружность и сравнивать расстояния до её точек.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; длина этого отрезка также называется радиусом. Например, если O — центр, а A лежит на окружности, отрезок OA является радиусом. Радиус задаёт размер окружности и позволяет проверить, где находится другая точка.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. В круг входят и его внутренняя область, и линия по краю. Это понятие нужно, чтобы говорить не только о границе фигуры, но и обо всей области, которую она занимает.
Чтобы представить построение окружности, сначала выбирают точку-центр, а затем расстояние-радиус. После этого нужно отметить все точки, находящиеся от центра ровно на выбранном расстоянии. Если расстояние до точки меньше или больше радиуса, она не лежит на окружности, поэтому для её построения важны сразу оба выбора.
Циркуль помогает провести линию на одинаковом расстоянии от центра. Одну его ножку ставят в выбранную точку, а раствор между ножками задаёт радиус. Когда вторая ножка проходит вокруг центра, её расстояние до него не меняется: ножки соединены и раствор остаётся постоянным. Поэтому след второй ножки образует окружность.
Положение точки можно определить, сравнив её расстояние до центра с радиусом. Если расстояние меньше, точка ближе к центру, чем любая точка окружности, и находится внутри неё. Если расстояние больше, точка расположена за линией окружности. При равном расстоянии точка оказывается прямо на этой линии.
Круг включает точки внутри окружности и точки самой окружности. Это следует из определения круга: его область ограничена линией, но не заканчивается перед границей. Поэтому окружность — край круга, а не отдельная область внутри него. Когда закрашивают круг, обычно закрашивают и внутренность, оставляя его границу видимой.
У всех радиусов одной окружности одинаковая длина, потому что каждый из них соединяет один и тот же центр с точкой окружности. По определению окружности все такие точки равноудалены от центра. Направления радиусов могут быть разными, но расстояния от центра остаются равными. Поэтому длину одного радиуса можно использовать как длину любого другого.
| Признак | Окружность | Круг |
|---|---|---|
| Что представляет собой | Замкнутую линию | Область внутри линии вместе с ней |
| Роль границы | Сама является границей | Ограничен окружностью |
| Какие точки входят | Только точки линии | Точки внутри и на линии |
| Расстояние от центра до точек | Для каждой точки равно радиусу | Для внутренних точек меньше радиуса, для точек границы равно ему |
Пользуйся таблицей, когда нужно определить, о линии или о всей области идёт речь. Для точки сначала выясни, сравниваешь ли ты её с границей или со всем кругом. Помни: точки окружности входят в круг, но окружность не включает внутренние точки.
Задача 1. На рисунке отмечены точка O и точки A, B, C. Отрезки OA и OB равны, а OC длиннее OA. Какие точки лежат на окружности с центром O, а какая — вне её? Сравним расстояния от O: для точек на одной окружности они должны быть одинаковыми.
Ответ: точки A и B лежат на окружности, точка C находится вне неё.
Задача 2. Постройте окружность с центром O и радиусом 3 см. Отметьте точку P внутри окружности и точку Q на окружности. Чтобы построить границу, нужно сделать раствор циркуля равным заданному радиусу, а для выбора P и Q использовать их положение относительно этой границы.
Ответ: окружность строят с раствором циркуля 3 см; P отмечают внутри неё, Q — на линии окружности.
Задача 3. Радиус окружности равен 4 см. Точка M находится на расстоянии 4 см от центра, точка N — на расстоянии 2 см, а точка K — на расстоянии 5 см. Нужно определить, какие точки лежат на окружности, какие — внутри круга и какая — вне круга. Для этого сравним каждое расстояние с радиусом 4 см.
Ответ: M лежит на окружности, N — внутри круга, K — вне круга.
Иногда окружностью называют всю закрашенную круглую область. Так происходит потому, что в обычной речи слова «окружность» и «круг» могут смешивать, но в геометрии у них разные значения. Окружность — только линия, а круг включает внутренность. Проверь себя: если область закрашена, спроси, обозначена ли вся она или только её край.
Некоторые считают, что точка на окружности не принадлежит кругу. Ошибка появляется, когда круг представляют только как внутреннюю часть, забывая о его границе. По определению круг включает и внутренние точки, и окружность. Проверь себя по рисунку или условию: если точка стоит на краю круга, она всё равно входит в него.
Радиусом порой называют только число, например 3 см, и забывают об отрезке. Причина в том, что словом «радиус» называют и сам отрезок, и его длину, хотя это разные вещи: отрезок — геометрическая фигура, а сантиметры выражают её длину. Проверяй, что именно требуется: провести радиус или указать его длину.
Ещё одна ошибка — думать, что радиусы одной окружности могут быть разной длины. Отрезки направлены по-разному, поэтому может казаться, что один длиннее другого. Но каждый идёт от одного центра до окружности, а такие расстояния равны. Сравни радиусы линейкой: при правильном построении их длины совпадут.
Для работы с окружностью пригодятся умения распознавать точку и отрезок, а также измерять длину отрезка. Без этого нельзя задать радиус, проверить его длину и сравнить расстояния от центра до других точек. Позже окружность, круг и радиус понадобятся при геометрических построениях. Эти понятия также используют в задачах на длину окружности и площадь круга.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только замкнутая линия. Круг состоит из этой линии и всей области внутри неё.
Входит ли граница в круг?
Да, граница входит в круг. Поэтому каждая точка окружности одновременно принадлежит кругу.
Что называют радиусом окружности?
Радиус — это отрезок от центра окружности до любой точки на ней. Длиной радиуса называют длину этого отрезка.
Могут ли радиусы одной окружности иметь разную длину?
Нет, все радиусы одной окружности имеют одинаковую длину. Каждый соединяет тот же центр с точкой, равноудалённой от него.
Как определить, лежит ли точка внутри круга?
Сравни расстояние от точки до центра с радиусом. Если оно меньше радиуса, точка находится внутри круга; если равно — на окружности, а если больше — снаружи.
8.2. Что такое окружность и круг?
