8.3. Построение круга из отрезков

Определения и обозначения

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром. Представь, что кончик карандаша движется вокруг неподвижной точки на одном и том же расстоянии: его след и будет окружностью. Окружность — только линия, а не вся область внутри неё.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой границей. Иначе говоря, к линии-окружности добавляется всё, что находится внутри неё. Это различие нужно, чтобы точно описывать, что мы построили: одну лишь границу или целую область. Например, циркуль проводит окружность, а круг можно изобразить, закрасив область внутри неё.

Центр круга — точка, от которой одинаково удалены все точки окружности. Она находится внутри круга, а не на его границе. При построении центр нужен как место, где закрепляют иглу циркуля. Если игла стоит в другой точке, окружность получится с другим центром.

Радиус — отрезок от центра круга до точки окружности. Длина радиуса равна расстоянию от центра до любой точки границы. Эту длину используют как меру круга при построении: ею раскрывают циркуль. Радиус помогает получить окружность нужного размера, даже если не измерять каждую её точку отдельно.

Как это устроено

Чтобы построить круг по отрезку, сначала решают, какую роль этот отрезок будет играть: задавать радиус или диаметр. В первом случае можно выбрать один из концов отрезка центром, а сам отрезок использовать как радиус. Так поступают, когда в условии, например, уже указан центр и расстояние от него до границы. Выбор роли отрезка важен: от него зависят и место центра, и раскрытие циркуля.

Циркуль раскрывают на длину радиуса, то есть устанавливают между его ножками расстояние, равное заданному отрезку. Такая настройка переносит длину отрезка на чертёж: иглу можно поставить в центр, а карандашную ножку — провести по линии на нужном расстоянии. Во время переноса раствор не меняют, иначе расстояние станет другим. Поэтому перед началом полезно проверить, что ножки циркуля не раздвигаются и не сдвигаются случайно.

Острие циркуля ставят в выбранный центр и, удерживая его на месте, поворачивают циркуль вокруг этой точки. Карандашная ножка при этом всё время находится на одинаковом расстоянии от иглы, потому что раствор не меняется. Значит, каждая отмеченная точка удалена от центра на длину радиуса. Линия, которая проходит через эти точки, и образует окружность.

Проведённая окружность задаёт границу круга, но сама по себе не закрашивает область внутри. Чтобы показать именно круг на рисунке, можно оставить внутреннюю часть незакрашенной или отметить её цветом — главное, помнить, что она тоже входит в круг. Это различие похоже на разницу между контуром рисунка и всей фигурой внутри контура. Так легче понять, почему чертёж циркулем называют построением окружности, хотя в задаче могут просить построить круг.

Если заданный отрезок должен быть диаметром, его нельзя целиком брать за радиус. Диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр, поэтому центр расположен посередине отрезка. Сначала находят середину, а затем определяют радиус: это половина диаметра. Циркуль раскрывают именно на эту половину и ставят иглу в найденную середину.

Отрезки и элементы круга при построении

Сначала определи, что дано: радиус или диаметр. Затем по таблице проверь, где должен быть центр и на какую длину раскрыть циркуль. После проведения окружности помни, что круг включает всю внутреннюю область.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Дан отрезок AB. Построй круг с центром A и радиусом AB. В условии уже названы и центр, и отрезок, который задаёт радиус. Поэтому длину AB нужно перенести циркулем без изменений, а затем провести границу круга из точки A.

1. Поставь одну ножку циркуля в точку A, а вторую — в точку B, чтобы раствор стал равен AB.
2. Не сдвигая ножки относительно установленного расстояния, перенеси циркуль так, чтобы игла оказалась в точке A.
3. Поверни циркуль вокруг иглы и проведи замкнутую окружность. Область внутри этой линии вместе с границей и есть искомый круг.

Ответ. Построен круг с центром A и радиусом AB. Проверь, что игла стояла в A, а раствор циркуля не менялся: тогда расстояние от A до любой точки окружности равно AB.

Задача 2

Условие. Дан отрезок CD, который должен быть диаметром круга. Построй этот круг. Здесь отрезок задаёт не расстояние от центра до границы, а расстояние между двумя точками границы. Поэтому сначала нужно найти середину CD, а для циркуля взять не всю длину, а её половину.

1. Найди середину отрезка CD и обозначь её, например, буквой O. Точка O будет центром круга.
2. Определи длину половины CD: это расстояние от O до C и от O до D.
3. Установи циркуль на длину OC, поставь иглу в O и проведи окружность. Отрезок CD при этом проходит через центр, а его концы лежат на полученной окружности.

Ответ. Центр круга — середина диаметра CD, радиус равен половине CD. Если взять целый CD за раствор циркуля, окружность окажется слишком большой: её радиус будет равен всему диаметру.

Задача 3

Условие. Построй два круга с одним центром O, используя отрезки разной длины как радиусы. Сравни полученные круги. Общий центр означает, что игла циркуля в обоих построениях будет стоять в точке O. Разные длины отрезков зададут разные расстояния от центра до границ.

1. Выбери первый отрезок и установи по нему раствор циркуля.
2. Поставь иглу в O и проведи первую окружность, затем отметь область внутри неё как первый круг.
3. Установи циркуль на длину второго отрезка, снова поставь иглу в O и проведи вторую окружность. Сопоставь расстояния от O до обеих границ и внутренние области кругов.

Ответ. Круги имеют общий центр, но разные радиусы и границы. Круг с более длинным радиусом больше: его окружность расположена дальше от O, а область внутри охватывает меньший круг.

Типичные ошибки

Иногда окружность называют кругом, потому что на рисунке видна только проведённая линия. Так происходит, когда границу и область внутри неё считают одним и тем же. Проверь себя: окружность — это линия, а круг включает ещё и всё внутри неё. Если в задаче просят круг, мысленно добавь к границе внутреннюю область.

Если во время построения сдвинуть ножки циркуля, радиус изменится. Ошибку легко допустить, перенося циркуль с отрезка к центру или поворачивая его слишком резко. Проверь, что расстояние между ножками осталось прежним, и только после этого проводи окружность. Все точки построенной границы должны быть на одинаковом расстоянии от иглы.

При построении по диаметру иногда раскрывают циркуль на весь заданный отрезок. Так делают, если не замечают, что диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов. Чтобы проверить себя, найди середину диаметра и сравни длину раствора с расстоянием от середины до любого его конца. Раствор должен быть равен этому расстоянию, а не всему диаметру.

Если игла стоит не в выбранном центре, получится окружность вокруг другой точки. Причина обычно в том, что центр не отметили заранее или при переносе циркуля не поставили иглу точно на отметку. Перед проведением проверь положение острия, а затем удерживай его неподвижно. Центр должен оставаться на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.

Связь с другими темами

Для построения круга понадобятся умения измерять и сравнивать длины отрезков, находить середину отрезка и пользоваться циркулем. Без измерения трудно установить нужный раствор, а без середины нельзя верно построить круг по диаметру. Эти навыки помогают переносить длины на чертёж и проверять результат.

Круги и окружности встречаются при изображении геометрических фигур и изучении взаимного расположения фигур. Дальше понятия радиуса и диаметра помогают сравнивать размеры кругов и описывать их элементы. Если круги имеют общий центр, можно сопоставить их границы и области, опираясь на длины радиусов.

Что запомнить

• Радиус задаёт расстояние от центра до окружности.
• При построении циркулем его раствор равен радиусу.
• Острие циркуля ставят в центр круга.
• Окружность — граница, круг — граница вместе с внутренней областью.
• Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
• Если задан диаметр, радиус для циркуля равен половине его длины.