"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Окружность — замкнутая линия, каждая точка которой одинаково удалена от центра, а круг — вся часть плоскости внутри этой линии вместе с границей. Расстояние от центра до окружности называют радиусом, а отрезок через центр между двумя точками окружности — диаметром. Эти элементы помогают описывать круглые предметы, чертить их циркулем и находить размеры. Главное соотношение простое: диаметр равен двум радиусам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром окружности, а расстояние до неё — радиусом. Например, если закрепить один конец нити и натянуть её, свободный конец можно вести по кругу: длина нити останется одинаковой. Определение помогает отличить окружность от любой другой замкнутой линии.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность является его границей, а сам круг включает и эту границу, и все точки внутри неё. Представь нарисованный обруч и окрашенный внутри диск: обруч похож на окружность, а диск — на круг. Это различие нужно, чтобы точно говорить о линии или обо всей плоской фигуре.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Радиус обозначают маленькой буквой r или большой буквой R; например, запись r = 3 см означает, что расстояние от центра до окружности равно трём сантиметрам. Радиус показывает размер окружности и круга. Он всегда начинается в центре и заканчивается на окружности.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Его обычно обозначают буквой d. Диаметр нужен, чтобы описать ширину круга через центр; он равен двум радиусам. Если известен диаметр, можно найти радиус, разделив его длину на два.
Чтобы начертить окружность циркулем, сначала отмечают на бумаге точку для центра и ставят туда иглу. Затем раскрывают циркуль на нужное расстояние: это раскрытие становится радиусом. Когда ножки вращаются, расстояние от иглы до карандаша не меняется, потому что длина циркуля остаётся постоянной. Поэтому каждая точка проведённой линии удалена от центра на один и тот же радиус, как и требует определение окружности.
Круг и окружность легко перепутать, если смотреть на рисунок целиком. Однако карандашная линия изображает только границу, а закрашенная область внутри неё добавляет все внутренние точки. Именно поэтому окружность можно обвести, не закрашивая её внутреннюю часть, а круг можно закрасить целиком. Различие важно в задачах: иногда спрашивают о длине границы, а иногда — о всей фигуре.
У любой точки одной окружности расстояние до её центра одинаковое. Радиусом называют не только это расстояние, но и отрезок, который его показывает. Поэтому можно провести от центра отрезки к разным точкам окружности, и каждый будет радиусом одинаковой длины. Радиус можно измерить линейкой или задать заранее, установив нужное раскрытие циркуля.
Диаметр — частный случай хорды: хордой называют отрезок между двумя точками окружности, а диаметр проходит ещё и через центр. Центр делит диаметр на две части, каждая из которых является радиусом. Эти части равны, поскольку обе соединяют центр с точками одной окружности. Значит, длина диаметра складывается из двух одинаковых радиусов: d = 2r.
Через центр можно провести много прямых в разных направлениях, и каждая из них пересечёт окружность в двух точках. Отрезок между этими точками будет диаметром, потому что проходит через центр. Какой бы диаметр ни выбрали, он состоит из двух радиусов одной окружности. Поэтому все диаметры этой окружности имеют одинаковую длину, хотя расположены по-разному.
| Элемент | Где расположен | Что обозначает | Связь с радиусом |
|---|---|---|---|
| Окружность | Граница круга | Замкнутую линию, равноудалённую от центра | Расстояние от центра до неё равно радиусу |
| Круг | Внутри окружности и на её границе | Часть плоскости, ограниченную окружностью | Содержит радиусы, проведённые к границе |
| Центр | Внутри круга | Точку, от которой точки окружности равноудалены | Начало каждого радиуса |
| Радиус | В круге, от центра до окружности | Отрезок от центра до границы | Его длина обозначается r или R |
| Диаметр | В круге, через центр, от одной точки окружности до другой | Отрезок, проходящий через центр | Состоит из двух радиусов: d = 2r |
Пользуйся таблицей, чтобы проверить, где расположен элемент и какие точки он соединяет. Если отрезок начинается в центре и заканчивается на окружности, это радиус. Если он соединяет две точки окружности и проходит через центр, это диаметр.
Задача 1. Начертить окружность с центром O и радиусом 3 см, затем обозначить её элементы. Нужно получить линию, каждая точка которой отстоит от O на 3 см. Для этого удобно воспользоваться циркулем: так расстояние сохраняется во время черчения. После построения отметим точку на окружности и покажем радиус.
Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см; отрезок OA — её радиус. Если дополнительно провести диаметр, он будет вдвое длиннее радиуса. Проверь построение: игла всё время должна оставаться в O, а раскрытие циркуля — не изменяться.
Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найти диаметр. Диаметр проходит через центр и складывается из двух радиусов, поэтому здесь нужно взять длину радиуса два раза. Сначала запишем связь между величинами, затем подставим известное значение.
Ответ: диаметр равен 8 см. Можно проверить результат обратным действием: половина диаметра составляет 8 : 2 = 4 см, то есть заданный радиус. В ответе указаны сантиметры, как и в условии.
Задача 3. Диаметр круглого стола равен 1,2 м. Найти радиус и объяснить, почему отрезок от центра до края стола является радиусом. Край круглого стола соответствует окружности, ограничивающей круглый столешницу. Значит, отрезок от её центра до точки края подходит под определение радиуса.
Ответ: радиус стола равен 0,6 м. Отрезок от центра столешницы до любой точки её круглого края является радиусом, потому что соединяет центр с точкой окружности. Расстояние до края одинаково во всех направлениях.
Ошибка — называть круг окружностью. Так говорят, потому что на чертеже граница и внутренняя область видны вместе, но окружность состоит только из линии, а круг включает область внутри неё. Чтобы проверить себя, спроси: речь идёт о границе или обо всей плоской фигуре? Если указана только граница, это окружность; если область вместе с границей — круг.
Ошибка — считать радиусом любой отрезок, нарисованный внутри круга. Отрезок может соединять две внутренние точки и не иметь отношения к центру или окружности. Радиус обязательно начинается в центре и заканчивается на окружности. Перед ответом проверь оба конца отрезка: один должен совпасть с центром, другой — лежать на границе.
Ошибка — путать радиус и диаметр. Радиус соединяет центр с одной точкой окружности, а диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр, поэтому он вдвое длиннее радиуса. Путаница возникает, если не проверить, где находятся концы отрезка. Для самопроверки найди центр: если он делит отрезок на две части, а концы лежат на окружности, это диаметр.
Ошибка — думать, что у окружности может быть только один радиус или диаметр. На самом деле от центра можно провести радиусы к разным точкам окружности, а через центр — диаметры в разных направлениях. Их отрезки расположены по-разному, но длины всех радиусов одной окружности одинаковы, как и длины всех её диаметров. Проверь себя, проведя несколько таких отрезков и сравнив их длины.
Для работы с окружностью нужны знакомые понятия: точка, отрезок, длина отрезка и равные расстояния. Умение измерять линейкой помогает проверить радиус, а циркуль позволяет откладывать одинаковое расстояние и строить окружность. Позже радиус и диаметр пригодятся при изучении измерения окружности и площади круга. Они также встречаются в задачах о круглых предметах: например, помогают определить расстояние от центра стола до края или его ширину через центр.
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — только замкнутая граница. Круг включает эту границу и всю область внутри неё.
Как построить окружность заданного радиуса?
Отметь центр и поставь в него иглу циркуля. Раздвинь циркуль на длину заданного радиуса и, не меняя раскрытия, проведи линию вокруг центра.
Почему все радиусы одной окружности равны?
Каждый радиус соединяет один и тот же центр с точкой окружности. Все точки окружности находятся от центра на одинаковом расстоянии, значит длины радиусов равны.
Как связаны длины радиуса и диаметра?
Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому его длина в два раза больше радиуса: d = 2r. Чтобы найти радиус, диаметр делят на 2.
Может ли диаметр не проходить через центр?
Нет. По определению диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Отрезок между точками окружности, не проходящий через центр, называется хордой.
8.4. Элементы круга и окружности
