8.5. Как мы видим и рисуем круг

Определения и обозначения

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Он состоит не только из линии по краю, но и из всей области внутри неё. Это понятие нужно, когда рассматривают заполненную фигуру, например круглую пластинку.

Окружность — линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Она образует границу круга и сама по себе внутренней области не имеет. По окружности удобно описывать край фигуры и строить его циркулем.

Центр круга — точка, от которой одинаково удалены все точки окружности. Обычно центр обозначают буквой O. Зная центр, можно правильно построить круг и измерять расстояния до его границы.

Радиус круга — отрезок от центра до любой точки окружности. Все радиусы одного круга равны, а длина радиуса задаёт размер круга: чем она больше, тем больше круг. Радиус часто обозначают буквой r.

Как это устроено

Круг и окружность называют по-разному, потому что они обозначают разные части одной фигуры. Окружность — лишь граница, как ободок, а круг — всё пространство внутри ободка вместе с ним. Если закрасить внутреннюю область, получится изображение круга, а если оставить только край, останется окружность.

Центр и радиусы связаны тем, что каждый радиус начинается в одной и той же точке — центре — и заканчивается на окружности. Окружность специально определяют через одинаковое расстояние от центра, поэтому радиусы одного круга не могут быть разными. Сравнение расстояния до центра с радиусом помогает определить положение точки: меньше — внутри, равно — на окружности, больше — снаружи.

Чтобы построить круг циркулем, сначала выбирают его центр и нужный радиус. Иглу ставят точно в центр, а раскрытие циркуля делают равным длине радиуса: тогда грифель при движении всё время остаётся на одном и том же расстоянии от иглы. После проведения замкнутой линии получается окружность, а область, которую она ограничивает, задаёт круг.

Круг на плоском рисунке иногда выглядит как овал, если его показывают под углом. Это похоже на вид круглой тарелки сбоку: ближняя и дальняя части изображения зрительно сближаются. Геометрические свойства не изменяются, поэтому аккуратность построения проверяют по центру и постоянству радиуса, а не только по внешнему виду рисунка.

Круг и окружность: сравнение

Сначала определите, идёт ли речь о заполненной области или только о её крае. Затем обратите внимание на центр и радиус: они помогают построить фигуру и проверить положение точек.

Если в задаче требуется найти часть, расположенную «вне круга», не путайте её с областью вне окружности: окружность — только линия, а круг — вся внутренняя часть.

Разбор задач

Задача 1

Начерти окружность с центром O и радиусом 3 см, затем обозначь полученный круг. Нужно получить границу на одинаковом расстоянии 3 см от центра и выделить область внутри неё.

1. Поставь иглу циркуля в точку O.
2. Раскрой циркуль по линейке на 3 см.
3. Проведи окружность, не меняя раскрытия циркуля.
4. Рассматривай внутреннюю область вместе с границей как круг и обозначь её.

Ответ: построена окружность радиуса 3 см с центром O; область внутри неё вместе с границей — круг.

Задача 2

Точка A находится на расстоянии 2 см от центра круга с радиусом 4 см. Определи, где расположена точка A. Сравним расстояние до центра с радиусом, потому что именно радиус отделяет внутреннюю область от границы.

1. Запиши расстояние от A до центра: 2 см.
2. Сравни его с радиусом: 2 см меньше 4 см.
3. Сделай вывод по правилу: расстояние меньше радиуса означает положение внутри круга.

Ответ: точка A находится внутри круга.

Задача 3

Начерти два круга с общим центром O и радиусами 2 см и 5 см. Найди точки, которые принадлежат окружности большего круга, но лежат вне меньшего. У таких точек расстояние до O равно 5 см, поэтому до меньшей окружности им не хватает расстояния 2 см.

1. Поставь иглу в O и проведи окружность радиуса 2 см.
2. С тем же центром проведи окружность радиуса 5 см.
3. Возьми любые точки на большей окружности: каждая находится от O на расстоянии 5 см.
4. Так как 5 см больше 2 см, эти точки лежат вне меньшего круга.

Ответ: подходят все точки окружности большего круга; они находятся на расстоянии 5 см от O и вне круга радиуса 2 см.

Типичные ошибки

Называть окружность кругом. Ошибка возникает, когда не различают край и пространство внутри него. Проверь себя: если можно указать внутреннюю область, речь идёт о круге, а одна линия — это окружность.

Считать радиусом отрезок между двумя точками окружности. Такой отрезок может быть частью другой линии, но радиус обязательно начинается в центре. Проверь, есть ли у отрезка один конец в центре, а второй — на окружности.

Менять раскрытие циркуля во время построения. Так делают, когда случайно нажимают на ножки циркуля, и тогда расстояние до границы становится разным. Проверь построение: игла должна оставаться в центре, а раскрытие — неизменным.

Принимать овал на рисунке за форму круга. Ошибка появляется из-за изображения фигуры под углом или из-за рисунка от руки. Проверь не только вид, но и способ построения: у настоящей окружности все точки границы равноудалены от центра.

Связь с другими темами

До изучения круга нужно уметь пользоваться линейкой и циркулем, измерять отрезки и различать точку, отрезок и линию. Эти навыки позволяют точно выбрать центр, установить радиус и провести границу без искажений. Без измерения трудно проверить результат построения.

Центр и радиус пригодятся при изучении свойств окружности, построении геометрических фигур и решении задач на расстояния. Сравнение расстояния с радиусом помогает устанавливать положение точек. Позже эти понятия будут использоваться в более сложных построениях.

Что запомнить

• Круг включает внутреннюю область и свою границу.
• Окружность — граница круга.
• Центр одинаково удалён от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Длина радиуса определяет размер круга.
• Циркуль позволяет провести окружность с постоянным радиусом.
• Изображение круга под углом может выглядеть как овал.