"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Цилиндр — геометрическое тело с двумя одинаковыми круглыми основаниями и соединяющей их боковой поверхностью. Такие формы есть у банок, труб и стаканов, а изучение цилиндра помогает описывать предметы и рассчитывать, сколько материала нужно для их изготовления. Главное — различать основания, ось, радиус, высоту и образующие. Развёртка превращает боковую поверхность в прямоугольник, поэтому площадь цилиндра можно найти по знакомым правилам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и боковой поверхностью. Круги образуют основания, а боковая поверхность соединяет их границы — окружности. Это объёмное тело, поэтому оно отличается от плоского круга.
Основание цилиндра — один из двух равных кругов, ограничивающих тело. Основания находятся в параллельных плоскостях, то есть не пересекаются и сохраняют одинаковое расстояние друг от друга. По основаниям удобно определять форму и размер цилиндра.
Боковая поверхность цилиндра — часть поверхности между окружностями оснований. Она обходит цилиндр сбоку, в отличие от оснований, которые закрывают его сверху и снизу. Если мысленно разрезать её вдоль и развернуть, получится прямоугольник.
Высота цилиндра — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. У прямого цилиндра она равна длине образующей — отрезка, соединяющего соответствующие точки окружностей. Высота нужна, чтобы измерять цилиндр и вычислять площадь его боковой поверхности.
Представь прямоугольник, который вращается вокруг одной из своих сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра, а противоположная ей сторона описывает круг. Остальные точки прямоугольника при вращении образуют боковую поверхность. Так видно, откуда берутся круглые основания и поверхность между ними.
Основания равны, потому что при вращении прямоугольника верхняя и нижняя стороны описывают одинаковые окружности. Они лежат в параллельных плоскостях: плоскости этих сторон не наклоняются и не пересекаются. Центры кругов соединяет ось цилиндра. У прямого цилиндра ось перпендикулярна плоскостям оснований.
Образующая соединяет точку одной окружности с соответствующей точкой другой окружности и лежит на боковой поверхности. У прямого цилиндра все образующие параллельны оси: поверхность получается вращением прямоугольника, а его стороны, перпендикулярные оси, всё время сохраняют это направление. Поэтому длина каждой образующей равна высоте. У наклонного цилиндра образующие могут идти наклонно, и их длина не обязана совпадать с высотой.
Если разрезать боковую поверхность прямого цилиндра по образующей и расправить её, получится прямоугольник. Его одна сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания, то есть 2πr, где r — радиус, а π — число примерно 3,14. Длина окружности становится стороной прямоугольника, потому что при расправлении вся окружность разворачивается в прямой отрезок. Такая развёртка помогает увидеть, из каких величин складывается площадь боковой части.
Площадь прямоугольника развёртки равна произведению его сторон: h · 2πr, поэтому Sбок = 2πrh. Полная поверхность состоит из этой боковой части и двух кругов-оснований. Площадь круга радиуса r равна πr², значит, Sполн = 2πrh + 2πr². Формулы позволяют найти площадь материала для поверхности, если известны радиус и высота.
| Элемент цилиндра | Что представляет собой | Как определить или найти |
|---|---|---|
| Основания | Два равных круга в параллельных плоскостях | Найти круги на концах цилиндра |
| Боковая поверхность | Поверхность между окружностями оснований | Развернуть в прямоугольник |
| Ось цилиндра | Отрезок между центрами оснований | Соединить центры двух кругов |
| Радиус основания | Отрезок от центра круга до его окружности | Измерить от центра до края основания |
| Высота | Расстояние между плоскостями оснований | Измерить перпендикуляр между плоскостями |
| Образующая | Отрезок на боковой поверхности между окружностями | Соединить соответствующие точки окружностей |
| Развёртка боковой поверхности | Прямоугольник со сторонами h и 2πr | Взять высоту и длину окружности основания |
Сначала найди на модели или чертеже основания и их центры, а затем определи ось и радиус. Высоту измеряют перпендикулярно плоскостям оснований, а не вдоль наклонной линии. Таблица помогает выбрать формулу: для боковой площади нужны радиус и высота, для полной — ещё площади обоих оснований.
Задача: на рисунке изображён цилиндр. Назвать его основания, ось, высоту и радиус основания. Чертёж может показывать линии по-разному, поэтому ориентируйся на смысл каждого элемента. Даже если часть линии нарисована наклонной, высоту определяют по перпендикуляру к плоскостям оснований.
Проверка: радиус начинается в центре круга, а высота измеряет расстояние между плоскостями, а не длину произвольного наклонного отрезка. Если цилиндр прямой, высота и образующая равны по длине. Ответ: основания — два равных круга; ось соединяет их центры; высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований; радиус идёт от центра к окружности.
Задача: радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найти площадь боковой поверхности. Представь, что боковую часть разрезали и развернули: получится прямоугольник. Его стороны — высота 5 см и длина окружности основания 2π · 3 см.
Ответ: 30π см² (примерно 94,2 см²). Единицы площади — квадратные сантиметры, потому что перемножаются две длины. Проверить ход решения можно по развёртке: площадь прямоугольника должна быть равна длине окружности, умноженной на высоту.
Задача: радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 6 см. Найти площадь полной поверхности и объяснить, из каких частей она складывается. В отличие от боковой площади, здесь нужно учесть не только развёрнутую боковую поверхность, но и оба круглых основания. Поэтому к площади прямоугольника прибавляют две площади кругов.
Ответ: 80π см², или примерно 251,2 см². Слагаемое 48π относится к боковой поверхности, а 32π — к двум основаниям. Если бы учли только одно основание, потеряли бы площадь ещё одного круга, поэтому число оснований стоит проверить отдельно.
Ошибка: назвать высотой наклонную образующую. Так бывает, когда за высоту принимают любой отрезок, заметный на боковой поверхности. Проверь себя: высота должна быть перпендикулярна плоскостям оснований, а у прямого цилиндра её длина совпадает с образующей.
Ошибка: считать, что у цилиндра одно основание. Можно сосредоточиться на видимом круге и забыть о втором, скрытом с другой стороны. Проверь тело с двух концов: у цилиндра два равных круга в параллельных плоскостях.
Ошибка: перепутать радиус и диаметр в длине окружности. Диаметр вдвое длиннее радиуса, поэтому подстановка диаметра вместо r увеличит результат вдвое. Проверь формулу: при радиусе r длина окружности равна 2πr, а πr соответствует половине этой длины.
Ошибка: найти полную площадь, учтя только боковую поверхность или одно основание. Это происходит, если формулу выбирают по одному видимому элементу и не перечисляют все части тела. Проверь себя: в полной поверхности должны быть боковая часть и два круга, то есть 2πrh + 2πr².
Для работы с цилиндром нужны понятия круга, окружности, радиуса, диаметра, длины окружности и площади круга. В частности, формулы используют длину 2πr и площадь πr². Развёртка помогает изучать поверхности других тел, например конуса и призмы: поверхность мысленно расправляют и находят её части. Цилиндрические формы встречаются у банок и труб, поэтому вычисления площади помогают оценить материал для упаковки, а расчёты объёма — вместимость.
Чем цилиндр отличается от круга?
Круг — плоская фигура, а цилиндр — объёмное тело. У цилиндра есть два круглых основания и боковая поверхность.
Сколько оснований у цилиндра и какой они формы?
У цилиндра два основания. Это равные круги, лежащие в параллельных плоскостях.
Чем высота цилиндра отличается от образующей?
Высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Образующая соединяет соответствующие точки окружностей; у прямого цилиндра она равна высоте, а у наклонного может быть наклонной.
Как выглядит развёртка боковой поверхности цилиндра?
Она выглядит как прямоугольник. Одна его сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания.
Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
Нужно сложить площадь боковой поверхности и площади двух оснований. Формула: Sполн = 2πrh + 2πr², где r — радиус, h — высота.
§ 9. Цилиндры
