9.1. Построение цилиндров

Определения и обозначения

Цилиндр — объёмное геометрическое тело, ограниченное двумя равными кругами и боковой поверхностью. Эти круги называют основаниями, а поверхность между ними — боковой поверхностью. Такое определение помогает узнать цилиндр среди других тел: у него обязательно два одинаковых круглых основания, расположенных друг напротив друга.

Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры его оснований. Часто ось обозначают буквой OO₁, где O и O₁ — центры нижнего и верхнего кругов. Ось показывает направление цилиндра и помогает правильно расположить его основания на рисунке.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований. Её обозначают буквой h, а радиус основания — буквой r. При построении высота задаёт, на каком расстоянии друг от друга нужно расположить два одинаковых основания.

Как это устроено

Цилиндр выглядит объёмным, потому что его основания находятся не в одной плоскости. Если смотреть на круг сверху, он будет кругом, но при взгляде сбоку его изображают овалом: дальняя часть кажется короче из-за способа передачи пространства на плоскости. Поэтому два овала на рисунке не означают, что основания стали овальными.

В правильном изображении центры оснований лежат на одной прямой — оси. Боковые образующие соединяют соответствующие точки верхнего и нижнего оснований и идут в одном направлении. Если соединить основания наклонно или сделать линии непараллельными, получится изображение другого тела, а не прямого цилиндра.

Размер верхнего овала должен совпадать с размером нижнего. Это связано с тем, что основания цилиндра равны, а не просто похожи. Верхнее основание можно мысленно представить как нижнее, перенесённое вверх на расстояние, равное высоте.

При построении сначала намечают нижнее основание, затем откладывают высоту и проводят боковые линии, после чего добавляют верхнее основание. Такой порядок удобен: нижний овал задаёт ширину, боковые линии — высоту, а верхний овал завершает объём. Перед окончательным обведением проверяют симметрию и видимость линий.

У цилиндра видны не все части одновременно. Переднюю часть нижнего основания обычно обводят сплошной линией, а заднюю часть можно обозначить штриховой, потому что её закрывает тело цилиндра. Верхний овал чаще показывают полностью, если он виден наблюдателю.

Элементы цилиндра и их изображение

Таблица помогает сопоставить часть цилиндра с её ролью и способом построения. При выполнении чертежа двигайтесь по строкам сверху вниз: сначала определите элемент, затем проверьте его форму и положение. Так легче не перепутать высоту с радиусом и не забыть скрытую часть основания.

Если цилиндр дан в виде развёртки, пользуйтесь той же таблицей, но учитывайте плоские формы: боковая поверхность становится прямоугольником, а основания — двумя кругами. При склеивании края прямоугольника соединяются в боковую поверхность, а круги закрывают её сверху и снизу.

Разбор задач

Задача 1. Построить цилиндр высотой 6 см с радиусом основания 3 см.

Нужно получить не математическую формулу, а аккуратный чертёж. Радиус задаёт размер овалов, а высота — расстояние между их центрами. Все элементы следует располагать симметрично относительно одной вертикальной оси.

1. Проведите вертикальный отрезок OO₁ длиной 6 см. Точки O и O₁ будут центрами нижнего и верхнего оснований.
2. Через точку O наметьте нижний овал: его горизонтальный диаметр равен 6 см, а вертикальный размер выберите заметно меньше горизонтального, чтобы передать вид круга сбоку.
3. Через точку O₁ постройте такой же верхний овал. Проверьте, что его центр находится точно над центром нижнего овала.
4. Соедините левый край верхнего овала с левым краем нижнего, а правый край — с правым. Эти линии должны быть параллельными и иметь длину 6 см.
5. Обведите видимые линии, а заднюю часть нижнего овала при необходимости выполните штриховой линией. Подпишите OO₁ и значение высоты.

Получился цилиндр с равными основаниями и высотой 6 см. Радиус 3 см использован для определения диаметра основания: 2 · 3 = 6 см. Если овалы получились разными или боковые линии наклонены в разные стороны, чертёж нужно исправить.

Задача 2. Определить ошибку в построении цилиндра.

На чертеже нижний овал шире верхнего, а его центр смещён вправо относительно верхнего. Такое изображение нельзя считать правильным, даже если боковые линии соединяют оба овала. Проверим признаки цилиндра по очереди.

1. Сравним основания: они должны быть равными, но размеры овалов различаются.
2. Сравним центры: ось должна соединять центры и быть прямой, а здесь центры не лежат на одной вертикальной линии.
3. Исправим рисунок: уменьшим или увеличим верхний овал до размера нижнего и перенесём его центр на одну ось с центром нижнего.

Ошибка найдена в нарушении равенства оснований и положения оси. Самый быстрый способ проверки — мысленно сдвинуть верхнее основание вниз: оно должно точно совпасть с нижним.

Типичные ошибки

Рисуют основания настоящими кругами. Так поступают, потому что знают: основания цилиндра имеют форму круга. Но при изображении цилиндра сбоку круг передают овалом, иначе объём почти не ощущается. Проверьте рисунок по положению: горизонтальное основание обычно выглядит сплюснутым.

Делают верхнее и нижнее основания разными. Ошибка возникает, когда овалы строят «на глаз» без проверки ширины и центров. Основания цилиндра равны, поэтому их горизонтальные и вертикальные размеры должны совпадать. Проведите через центры ось и сравните края обоих овалов.

Проводят боковые линии наклонно в разные стороны. Иногда ученик старается показать объём, но забывает, что у прямого цилиндра образующие параллельны. Проверьте расстояние между линиями сверху и снизу: оно должно оставаться одинаковым.

Обводят все линии одинаково. Из-за этого становится непонятно, какая часть тела скрыта. Перед завершением чертежа определите положение наблюдателя и задние участки обозначьте штриховой линией или не обводите их.

Связь с другими темами

Построение цилиндра связано с изучением окружности и круга: радиус и диаметр помогают задать размер его основания. При работе с центрами и осью используются отрезки, параллельные и перпендикулярные прямые.

Цилиндр также связан с развёрткой многогранников и тел вращения. Его боковая поверхность при развёртывании превращается в прямоугольник, а два основания остаются кругами, поэтому чертёж помогает перейти от плоской фигуры к объёмному телу.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных круглых основания и боковую поверхность.
• Ось соединяет центры оснований, а высота показывает расстояние между ними.
• На плоском рисунке основания цилиндра обычно изображают овалами.
• Боковые линии прямого цилиндра параллельны и соединяют соответствующие точки оснований.
• Сначала строят нижнее основание, затем высоту и верхнее основание.
• Невидимые участки показывают штриховой линией или не обводят.