9.2. Круговые цилиндры

Определения и обозначения

Круговой цилиндр — тело с двумя равными круглыми основаниями, расположенными в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью между ними. Иначе говоря, у него есть две плоские круглые части и поверхность, которая их соединяет. Это определение помогает отличить цилиндр от плоского круга и от других объёмных тел. Слово «круговой» указывает на форму оснований.

Основания цилиндра — равные круги, ограничивающие цилиндр сверху и снизу. Они одинаковы по размеру, поэтому у них равны радиусы и диаметры. Основания нужны, чтобы задать форму и положение двух краёв тела. Их границы называются окружностями.

Ось цилиндра — отрезок, соединяющий центры его оснований. Она проходит внутри цилиндра от одного основания к другому. По оси удобно видеть направление цилиндра и измерять её длину. У прямого цилиндра ось перпендикулярна плоскостям оснований.

Высота цилиндра — расстояние между плоскостями его оснований; у прямого кругового цилиндра она равна длине оси. Высота показывает, насколько далеко друг от друга расположены основания. Её измеряют перпендикулярно плоскостям оснований, а не по любому отрезку на рисунке. Это помогает не спутать высоту с наклонным отрезком.

Как это устроено

Представить получение цилиндра можно с помощью прямоугольника, который вращают вокруг одной из его сторон. Сторона, вокруг которой происходит вращение, остаётся на месте и становится осью цилиндра, поэтому её длина задаёт высоту. Противоположная сторона движется по кругу, потому что каждая её точка вращается вокруг оси. Она заметает боковую поверхность, а длина этой стороны становится радиусом основания.

Основания цилиндра равны и параллельны не случайно: одно из них можно переместить вдоль оси до другого. При таком переносе точки круга смещаются на одинаковое расстояние и в одном направлении, поэтому форма и размер круга не меняются. Плоскости, в которых лежат основания, остаются параллельными. Так объясняется, почему круги сверху и снизу одинаковы.

Ось проходит через центры обоих оснований, поскольку именно центры остаются на месте при вращении прямоугольника. У прямого кругового цилиндра ось перпендикулярна плоскостям оснований: сторона вращения стоит к основанию прямоугольника под прямым углом. Поэтому длина оси и расстояние между плоскостями оснований совпадают. Увидев на рисунке отрезок между центрами кругов, можно распознать ось.

Боковая поверхность соединяет окружности оснований, словно оболочка вокруг цилиндра. Отрезки на этой поверхности, которые идут параллельно оси и соединяют соответствующие точки окружностей, называются образующими. У прямого цилиндра такие отрезки перпендикулярны основаниям, потому что параллельны оси. Они показывают, как боковая поверхность тянется от одного основания к другому.

Если разрезать боковую поверхность вдоль одной образующей, её можно распрямить, не растягивая и не сжимая. Получится прямоугольник: его высота равна высоте цилиндра, а длина — длине окружности основания. Так выходит потому, что при распрямлении линия, которая оборачивала основание по кругу, становится прямой стороной прямоугольника. Эта развёртка помогает представить поверхность и в дальнейшем понадобится при вычислении её площади.

Элементы кругового цилиндра

Пользуйся таблицей, когда нужно подписать элементы на модели или рисунке. Сначала найди два круга, затем их центры и отрезок между ними; после этого определи боковую поверхность и её образующие. Помни, что высота — это расстояние между плоскостями оснований, а не название всей боковой части.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён цилиндр. Найдите и подпишите его основания, ось и высоту. Даже если круги на плоском рисунке изображены овалами, нужно мысленно представить их как основания цилиндра. Подписываем элементы по их определениям.

1. Найдём два одинаковых круга, расположенных сверху и снизу. Это основания цилиндра, потому что именно они ограничивают его сверху и снизу.
2. Отметим центр каждого основания и соединим центры отрезком. Этот отрезок проходит внутри цилиндра и является осью.
3. Определим расстояние между плоскостями оснований. Оно является высотой; у прямого цилиндра высота совпадает с длиной оси.

Ответ: основания — два круга, ось — отрезок между их центрами, высота — расстояние между плоскостями оснований.

Задача 2. Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращают вокруг стороны длиной 7 см. Определите высоту цилиндра и радиус его основания. Здесь важно сначала понять, какая сторона остаётся на месте, а какая вращается. Первая задаёт ось, а вторая описывает круг.

1. Найдём сторону, вокруг которой вращают прямоугольник: это сторона длиной 7 см. Она становится осью, поэтому высота цилиндра равна 7 см.
2. Посмотрим на другую сторону, длина которой 4 см. При вращении она идёт от оси до окружности основания, то есть задаёт радиус основания.
3. Проверим, что стороны не перепутаны: сторона вращения задаёт высоту, а расстояние от оси до края вращающегося прямоугольника — радиус.

Ответ: высота цилиндра — 7 см, радиус основания — 4 см.

Задача 3. Боковую поверхность цилиндра разрезали по образующей и развернули. Получился прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см. Укажите высоту цилиндра и длину окружности его основания. При распрямлении прямоугольника одна сторона идёт вдоль цилиндра, а другая — вокруг основания. Нужно определить, какая длина соответствует каждому направлению.

1. Вспомним, что сторона развёртки, идущая вдоль цилиндра, равна высоте. Так как о цилиндре ничего не сказано, его можно считать прямым: выберем одну сторону прямоугольника как высоту.
2. Другая сторона развёртки соответствует линии, которая оборачивала основание. Её длина равна длине окружности основания.
3. По данным задачи получаем стороны 12 см и 5 см. Без указания расположения сторон нельзя определить, какая из них высота, поэтому возможны два ответа.

Ответ: высота — 12 см, длина окружности — 5 см, либо высота — 5 см, длина окружности — 12 см. Если в условии или на чертеже указано направление сторон, выбирают соответствующий вариант.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основанием боковую поверхность. Так могут ошибиться, если считают основанием любую часть, которая ограничивает тело. Но основания цилиндра — только два круга, а боковая поверхность соединяет их. Проверь себя: основания лежат в параллельных плоскостях и имеют границы-окружности.

Ошибка: считать высотой наклонный отрезок на рисунке. Изображение может быть наклонено или показано в перспективе, поэтому отрезок кажется подходящим для измерения. Однако высота определяется как расстояние между плоскостями оснований и измеряется перпендикулярно им. Проверь, что выбранный отрезок показывает именно это расстояние, а не просто соединяет какие-то точки.

Ошибка: путать радиус и диаметр основания. Диаметр проходит через центр круга от одного края до другого, а радиус идёт от центра до окружности. Их легко перепутать, если на рисунке не подписаны концы отрезка. Проверь, где находится центр: отрезок до края — радиус, а от края до края через центр — диаметр.

Ошибка: принимать длину окружности за высоту в развёртке. Так случается, когда обе стороны прямоугольника развёртки рассматривают одинаково. Сторона, которая оборачивала основание, равна длине окружности, а другая сторона равна высоте цилиндра. Проверь, какое направление соответствует движению вокруг основания, а какое — от одного основания к другому.

Связь с другими темами

Для изучения цилиндра нужны знакомые понятия круга, окружности, радиуса и диаметра, а также умение распознавать параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости. Развёртка боковой поверхности станет полезной, когда вы будете изучать площадь боковой и полной поверхности цилиндра. Модель цилиндра помогает замечать геометрические тела в предметах вокруг и подготавливает к изучению объёма тел.

Что запомнить

• У кругового цилиндра два равных круглых основания.
• Плоскости оснований параллельны.
• Ось соединяет центры оснований.
• Высота — расстояние между плоскостями оснований.
• В прямом круговом цилиндре ось перпендикулярна основаниям.
• Развёртка боковой поверхности — прямоугольник.