9.3. Многоугольные цилиндры — призмы

Определения и обозначения

Многоугольный цилиндр — тело, полученное переносом многоугольника параллельно самому себе. При таком переносе каждая вершина перемещается одинаково, и многоугольник сохраняет форму и размер. Это определение помогает представить, как из плоской фигуры получается объёмное тело.

Призма — многоугольный цилиндр, ограниченный двумя равными параллельными многоугольниками и боковыми гранями. Поэтому призма состоит не только из двух «торцов», но и из поверхности между ними. Такое определение позволяет отличить призму от других многогранников.

Основания призмы — два равных многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях. Они имеют одинаковую форму и размер, но находятся на некотором расстоянии друг от друга. По основаниям определяют вид призмы: треугольная, четырёхугольная, пятиугольная и так далее.

Боковые грани призмы — грани, соединяющие соответствующие стороны её оснований. Стороны одного основания соединяются со сторонами другого, поэтому боковых граней столько же, сколько сторон у основания. Пересечения боковых граней образуют боковые рёбра.

Как это устроено

Чтобы получить призму, сначала нарисуем многоугольник, а затем перенесём его параллельно самому себе. Все точки переместятся в одном направлении на одинаковое расстояние, поэтому второй многоугольник будет равен первому. После этого соединяем каждую вершину первого многоугольника с соответствующей вершиной второго.

Основания призмы равны, потому что одно из них получилось переносом другого: перенос не меняет длины и углы. Они параллельны, так как лежат в параллельных плоскостях, если перенос направлен «из одной плоскости в другую». Соответствующие стороны оснований соединяются, образуя боковые грани.

Число сторон основания определяет почти все основные подсчёты. Если у основания n сторон, то каждой паре соответствующих сторон соответствует одна боковая грань, поэтому их n. В каждом основании n вершин и n рёбер, значит, у всей призмы 2n вершин и 3n рёбер: 2n находятся в основаниях, ещё n соединяют основания.

Прямая призма имеет боковые рёбра, перпендикулярные основаниям. У наклонной призмы боковые рёбра идут под наклоном, поэтому их нельзя считать перпендикулярными основаниям. При этом обе призмы всё равно имеют равные параллельные основания.

На рисунке сначала найдите два одинаковых многоугольника: это основания. Затем рассмотрите поверхности между ними — это боковые грани; линии их пересечения являются рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. Скрытые рёбра можно обозначать пунктиром, но при подсчёте их тоже нужно учитывать.

Элементы и свойства призмы

В таблице буква n обозначает число сторон многоугольника в основании. Для конкретной призмы достаточно узнать это число и подставить его в правила. Сравнивая столбцы, можно увидеть, как меняется призма при увеличении числа сторон основания.

Разбор задач

Задача 1

Определим, является ли тело призмой, если у него есть два равных параллельных пятиугольных основания, а боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований.

1. Проверяем основания: они равны, то есть имеют одинаковую форму и размер.
2. Проверяем их расположение: основания лежат в параллельных плоскостях.
3. Проверяем боковую поверхность: боковые грани соединяют соответствующие стороны двух оснований.

Все признаки призмы выполнены. Ответ: тело является пятиугольной призмой.

Задача 2

Найдём число граней, вершин и рёбер шестиугольной призмы. В основании находится шестиугольник, значит, n = 6.

1. Боковых граней столько же, сколько сторон в основании: 6.
2. К боковым граням добавляем два основания: 6 + 2 = 8 граней.
3. Вершины находятся в двух основаниях: 2 · 6 = 12.
4. Рёбра состоят из рёбер двух оснований и соединяющих рёбер: 3 · 6 = 18.

Ответ: 8 граней, 12 вершин и 18 рёбер.

Задача 3

У призмы 18 вершин. Определим форму основания и число боковых граней.

1. В призме два одинаковых основания, поэтому число вершин равно 2n.
2. Составляем равенство: 2n = 18.
3. Делим обе части на 2: n = 9.
4. Девять сторон имеет девятиугольник, значит, основание — девятиугольник.
5. Число боковых граней равно числу сторон основания, поэтому их 9.

Ответ: призма имеет девятиугольные основания и 9 боковых граней.

Типичные ошибки

Некоторые считают основаниями любые две грани. Ошибка возникает потому, что основания могут выглядеть по-разному на рисунке; проверить себя можно по двум признакам: они должны быть равными и параллельными.

Боковую грань иногда путают с боковым ребром. Грань — это целая плоская часть поверхности, а ребро — отрезок, где встречаются две грани; мысленно выделите всю «стенку», а не только её край.

Бывает, что число боковых граней принимают за число всех граней или вершин. У основания с n сторонами боковых граней n, но всего граней n + 2, поэтому два основания нужно прибавить отдельно.

Наклонную призму часто рисуют как прямую и считают её рёбра перпендикулярными основаниям. Проверьте направление рёбер: перпендикулярными они бывают только у прямой призмы, а у наклонной идут под углом.

Связь с другими темами

Для изучения призм нужны знания о многоугольниках, их сторонах и вершинах, а также о параллельных прямых и плоскостях. Эти понятия помогают распознавать основания и правильно считать элементы тела.

Призмы пригодятся при изучении многогранников и развёрток геометрических тел. По их граням можно находить площади поверхностей, а в окружающем мире призмы напоминают коробки, упаковки, строительные блоки и некоторые архитектурные формы.

Что запомнить

• Призма имеет два равных параллельных основания.
• Основания призмы являются многоугольниками.
• Боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований.
• У n-угольной призмы n боковых граней.
• У n-угольной призмы 2n вершин и 3n рёбер.
• Прямая призма имеет боковые рёбра, перпендикулярные основаниям.
• Многоугольный цилиндр называют призмой.