9.4. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками. Это объёмное тело, поэтому оно занимает место не только на плоскости, но и в пространстве. Такое определение помогает отличить его от обычного прямоугольника.

Грань — прямоугольник, являющийся одной из поверхностей прямоугольного параллелепипеда. Грань можно представить как одну стенку коробки. По граням удобно узнавать форму тела и находить площадь его поверхности.

Ребро — отрезок, по которому пересекаются две грани прямоугольного параллелепипеда. Например, это линия на стыке двух стенок коробки. Рёбра показывают границы граней и помогают определить размеры тела.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра прямоугольного параллелепипеда. В коробке вершинами будут её углы. По вершинам можно понять, где начинаются и заканчиваются рёбра.

Как это устроено

Представим шесть прямоугольников: два одинаковых для передней и задней стенок, два для боковых стенок и два для верхней и нижней частей. Если соединить их соответствующие стороны, они замкнут поверхность объёмного тела. Внутри такой поверхности появляется пространство, поэтому получается не плоская фигура, а многогранник.

У каждой из шести граней по четыре стороны, но одна сторона принадлежит сразу двум соседним граням. Поэтому при подсчёте всех общих сторон не складывают 6 · 4 как отдельные рёбра, а получают 12 различных рёбер. В каждом углу сходятся три ребра, и всего таких углов 8, поэтому у тела 8 вершин.

Грани, расположенные напротив друг друга, не соприкасаются, но имеют одинаковую форму и размер. Например, верхняя и нижняя грани образуют одну равную пару, а передняя и задняя — другую. Рёбра тоже можно объединить в группы: в каждой группе они параллельны и имеют одинаковую длину.

Три направления рёбер задают длину, ширину и высоту параллелепипеда. Длина и ширина обычно лежат в горизонтальном направлении, а высота идёт вверх, но на рисунке положение может быть выбрано иначе. Главное — не название направления, а то, что из одной вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра, соответствующих трём измерениям.

На изображении грань выглядит как прямоугольная часть поверхности, ребро — как линия на её границе, а вершина — как точка встречи линий. Передние рёбра обычно рисуют сплошными линиями. Рёбра, закрытые видимыми гранями, показывают пунктиром, но при подсчёте их всё равно учитывают.

Элементы и свойства прямоугольного параллелепипеда

Сначала определите, какой элемент рассматривается, а затем сравните его с моделью. Например, линия между двумя поверхностями — это ребро, а сама поверхность — грань. Таблица помогает не забыть скрытые элементы и быстро проверить подсчёт.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке прямоугольного параллелепипеда нужно обозначить грани, рёбра и вершины. Будем различать их не по цвету, а по роли в устройстве тела.

1. Найдём плоские части поверхности. Каждая такая прямоугольная часть является гранью.
2. Рассмотрим линии, по которым встречаются две соседние грани. Это рёбра, включая те, что изображены пунктиром.
3. Отметим точки, где сходятся рёбра. Это вершины; у полной модели их должно быть 8.

Ответ: грани — прямоугольные поверхности, рёбра — отрезки на их стыках, вершины — точки соединения рёбер.

Задача 2. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, ширина — 3 см, высота — 2 см. Нужно узнать, сколько рёбер имеет каждую из этих длин.

1. Рёбра разделены на три группы по направлениям.
2. В каждой группе находится по 4 равных ребра.
3. Значит, длину 6 см имеют 4 ребра, длину 3 см — 4 ребра, а длину 2 см — ещё 4 ребра.

Ответ: по 4 ребра длиной 6 см, 3 см и 2 см; всего 12 рёбер.

Задача 3. Коробка имеет размеры 8 см, 5 см и 4 см. Найдём площадь материала, необходимого для оклеивания всех граней без нахлёста. У коробки есть три пары равных прямоугольников.

1. Площадь первой пары граней: 2 · 8 · 5 = 80 см².
2. Площадь второй пары: 2 · 8 · 4 = 64 см².
3. Площадь третьей пары: 2 · 5 · 4 = 40 см².
4. Сложим площади: 80 + 64 + 40 = 184 см².

Ответ: потребуется 184 см² материала. Такой же результат даёт формула 2(8 · 5 + 8 · 4 + 5 · 4).

Типичные ошибки

Путают грань и ребро: грань — это прямоугольная поверхность, а ребро — отрезок на границе двух граней. Ошибка появляется, когда смотрят только на линии чертежа и не замечают поверхности. Проверьте себя вопросом: это часть поверхности или место её пересечения с другой частью?

Считают только видимые рёбра и забывают скрытые. Так происходит потому, что пунктирные линии воспринимаются как необязательные, хотя они обозначают настоящие рёбра. Для проверки посчитайте группы по направлениям: должно быть 3 · 4 = 12 рёбер.

Считают, что все рёбра параллелепипеда равны. На самом деле равны только рёбра, направленные одинаково, а длина, ширина и высота могут отличаться. Проверьте, к какой из трёх групп относится выбранное ребро.

Называют длину, ширину и высоту сторонами одной грани. Эти измерения относятся к трём направлениям в пространстве, поэтому у одной грани обычно видны только два из них. Проверьте, что третье измерение связано с рёбрами, уходящими в другое направление.

Связь с другими темами

До изучения прямоугольного параллелепипеда нужно знать прямоугольник, его стороны и прямые углы. Именно прямоугольники становятся гранями нового объёмного тела, а их стороны — его рёбрами.

Понятия граней, рёбер и вершин пригодятся при изучении куба и других геометрических тел. Три измерения также нужны для вычисления объёма, а грани помогают находить площадь поверхности предметов.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Все его грани — прямоугольники.
• Противоположные грани равны.
• Рёбра параллелепипеда распределяются по трём направлениям.
• В каждом направлении четыре равных ребра.
• Три измерения параллелепипеда — длина, ширина и высота.