9.5. Как рисуют цилиндры?

Определения и обозначения

Цилиндр — тело с двумя равными круглыми основаниями, расположенными в параллельных плоскостях. Иначе говоря, это объёмная фигура, у которой сверху и снизу находятся одинаковые круги. Это определение помогает отличить цилиндр от других тел.

Основание цилиндра — один из двух равных кругов, ограничивающих цилиндр сверху и снизу. У цилиндра два основания, и ни одно из них не считается главным. По основаниям удобно понимать, как тело расположено и какой формы его края.

Боковая поверхность цилиндра — поверхность, соединяющая границы двух оснований. Она обходит цилиндр сбоку и вместе с основаниями ограничивает всё тело. Это понятие помогает отделить боковую часть от верхней и нижней.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. На рисунке такой отрезок выглядит как боковая линия между эллипсами. Образующие нужны, чтобы показать, как соединены края оснований.

Как это устроено

Круглые основания на объёмном рисунке обычно изображают эллипсами, потому что плоская картинка передаёт вид тела под углом. Если смотреть на круг не прямо сверху, его дальняя часть кажется ближе, а видимая форма становится сплющенной. Поэтому круг на рисунке выглядит похожим на овал, хотя само основание цилиндра остаётся круглым. Это условный приём, который помогает показать объём.

Чтобы построить цилиндр, сначала нарисуй два одинаковых эллипса один над другим. Затем проведи между ними отрезки, соединяющие соответствующие крайние точки: левую с левой, правую с правой. Эти линии должны идти параллельно, иначе фигура будет выглядеть наклонённой или сужающейся. Одинаковый размер эллипсов передаёт равенство оснований.

Расстояние между основаниями на рисунке показывает, насколько далеко одно основание от другого. Для прямого цилиндра это расстояние соответствует его высоте. Соединяющие боковые отрезки изображают образующие, потому что каждый из них связывает соответствующие точки двух окружностей. Их параллельность показывает, что боковая часть не сужается и не расширяется к одному из оснований.

Цилиндр непрозрачен, поэтому часть его контура может быть закрыта самим телом. Видимые наблюдателю участки обычно обводят сплошной линией, а скрытые показывают пунктиром. Например, ближняя часть нижнего основания видна, а дальняя часто оказывается за боковой поверхностью. Если на рисунке скрытые линии не нужны для понимания, их иногда вовсе не проводят.

Чтобы распознать цилиндр, сначала проверь основания: они должны быть равными кругами, даже если на плоском рисунке выглядят как эллипсы. Затем посмотри на боковые отрезки: у прямого цилиндра они параллельны и соединяют соответствующие части оснований. Если основания заметно разного размера, тело сужается или расширяется, а если боковые линии сходятся, рисунок не показывает обычный прямой цилиндр. Сравнивать нужно форму и расположение частей, а не только внешний вид линий.

Как элементы цилиндра изображают на рисунке

Сначала найди в таблице нужный элемент, затем сравни его описание с рисунком цилиндра. Обрати внимание, что эллипс обозначает круг, а пунктир сообщает о скрытой части контура. Так проще проверить, не перепутаны ли основания, образующие и линии видимости.

Разбор задач

Задача 1. Нарисовать цилиндр, у которого ось расположена вертикально, и обозначить его основания. Ось — это воображаемая линия, проходящая через середины оснований. Здесь важны одинаковый размер оснований и параллельность боковых отрезков. Сначала построим простую схему, а затем подпишем её части.

1. Нарисуй верхний эллипс и ниже него такой же по размеру эллипс. Они изображают два равных основания.
2. Соедини левую крайнюю точку верхнего эллипса с левой крайней точкой нижнего, а правые крайние точки — друг с другом. Проверь, что боковые отрезки параллельны.
3. Подпиши верхний и нижний эллипсы словом «основание». Если часть контура закрыта телом, отметь её пунктиром.

Ответ: цилиндр изображён двумя одинаковыми эллипсами, соединёнными параллельными боковыми отрезками. Оба эллипса обозначены как основания. Такое построение передаёт вертикальное положение цилиндра.

Задача 2. На готовом изображении цилиндра определить, какие части верхнего и нижнего оснований видны, а какие скрыты. Нужно мысленно представить, что цилиндр непрозрачен и мы смотрим на него снаружи. Тогда видимой будет только та часть контура, до которой ничто не заслоняет обзор. Скрытую часть следует отличить от видимой по расположению относительно тела.

1. Проследи контур верхнего основания и отметь часть, которая не закрыта боковой поверхностью. Её проведи сплошной линией.
2. Проверь нижнее основание: дальний участок часто закрыт телом, а ближний виден. Скрытый участок обозначь пунктиром.
3. Сравни результат с видом цилиндра: сплошная линия должна показывать внешний видимый край, а пунктир — только скрытый контур.

Ответ: видимые участки обоих контуров проводят сплошной линией, скрытые — пунктиром или не выделяют. Точное положение видимых частей зависит от того, с какой стороны показан цилиндр. Главное — не изображать невидимый участок так, будто он открыт наблюдателю.

Задача 3. На рисунке цилиндра отмечены точки на двух основаниях. Нужно провести через них образующую и объяснить, почему она параллельна другим боковым отрезкам. Образующая соединяет соответствующие точки окружностей, лежащие друг над другом. Важно не выбрать точки, которые не соответствуют друг другу по направлению.

1. Найди отмеченную точку на одном основании и соответствующую ей точку на другом. Убедись, что они расположены на одной боковой линии цилиндра.
2. Соедини точки отрезком. Этот отрезок лежит на боковой поверхности и является образующей.
3. Сравни его с другими боковыми отрезками: все они идут в одном направлении. Основания лежат в параллельных плоскостях, поэтому соответствующие соединяющие отрезки прямого цилиндра параллельны.

Ответ: образующую проводят между соответствующими точками оснований. Она параллельна другим боковым отрезкам, потому что все образующие прямого цилиндра имеют одно направление. Если соединить несоответствующие точки, отрезок может не показать нужную боковую линию.

Типичные ошибки

Первая ошибка — рисовать основания обычными окружностями, из-за чего изображение похоже на цилиндр, увиденный строго сверху. Так поступают, потому что забывают: объёмный рисунок показывает тело под углом. Проверь, видна ли боковая поверхность и передан ли объём; в обычном объёмном изображении основания делают эллипсами.

Вторая ошибка — соединять основания наклонными или сходящимися отрезками. Такие линии создают впечатление, будто цилиндр перекошен, сужается или расширяется. Это случается, когда не проверяют направление боковых сторон. Проведи через соответствующие точки параллельные отрезки и сравни расстояние между эллипсами слева и справа.

Третья ошибка — делать основания разного размера. Возможно, ученик пытается показать перспективу, но забывает, что у цилиндра основания равны. Проверь, совпадают ли размеры и форма двух эллипсов: в условном рисунке их изображают одинаковыми. Если один заметно меньше, схема не передаёт равные основания цилиндра.

Четвёртая ошибка — обводить весь контур оснований сплошной линией. Тогда скрытая часть выглядит так, словно её видно сквозь тело. Чтобы проверить себя, представь цилиндр непрозрачным и выясни, какие участки заслонены. Видимые линии оставь сплошными, скрытые обозначь пунктиром или не выделяй.

Связь с другими темами

Для чтения рисунка цилиндра нужно различать круг и окружность: круг — вся внутренняя часть, а окружность — его граница. Также пригодятся представления о параллельных отрезках и о видимых и скрытых линиях на чертеже. Эти знания помогают понять, почему основания показывают эллипсами, а боковые линии проводят параллельно. Позже изображение цилиндра понадобится при изучении объёмных тел, их развёрток, площади поверхности и объёма.

Что запомнить

• У цилиндра два равных основания.
• Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях.
• На объёмном рисунке основания обычно изображают эллипсами.
• Соответствующие боковые отрезки проводят параллельно.
• Видимые линии рисуют сплошными, скрытые — пунктирными.
• Рисунок передаёт форму тела, но не обязательно сохраняет настоящий вид кругов.