"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Конус — объёмное тело с круглым основанием и одной вершиной. Его боковая поверхность сужается от окружности основания к вершине. Чтобы разобраться в устройстве конуса, нужно отличать основание от боковой поверхности, а вершину — от центра основания. Высота конуса проходит от вершины к плоскости основания под прямым углом. Конус можно представить как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Конус — объёмное тело с круглым основанием и одной вершиной, которая не лежит в плоскости основания. Проще говоря, у него есть круг внизу, а боковая поверхность сужается к одной точке. Это определение помогает отличить конус от похожих предметов и других геометрических тел.
Основание конуса — круг, ограничивающий нижнюю часть конуса. В круг входят и его внутренняя часть, и граница — окружность. Основание нужно, чтобы определить, на какой плоской фигуре стоит конус и где проходит его край.
Вершина конуса — точка, к которой сходятся все образующие боковой поверхности. Образующая — отрезок от вершины до точки окружности основания. Вершина нужна, чтобы понять, где заканчивается сужающаяся боковая поверхность; её не следует путать с центром круга внизу.
Высота конуса — перпендикулярный отрезок от вершины до плоскости основания. Перпендикуляр — линия, которая встречает другую линию или плоскость под прямым углом. Высота показывает прямое расстояние от вершины до основания и отличается от наклонных отрезков, ведущих к краю круга.
Представь круглое основание и отдельную точку над его плоскостью. Если соединить эту точку с каждой точкой окружности, получится боковая поверхность конуса. Соединяющие отрезки называются образующими, потому что именно они задают наклонную поверхность. Внутри получившейся фигуры находится объёмное тело.
У конуса одно основание, потому что снизу его ограничивает один круг, а боковая поверхность сходится к одной точке. Эта точка и есть вершина: у неё не образуется второй круг, как у цилиндра. Чем ближе образующая к вершине, тем ближе боковая поверхность сужается к ней. Поэтому у конуса одна вершина и одна круглая граница основания.
Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Во время вращения этот катет остаётся на месте и становится высотой, а второй катет описывает круг — основание. Гипотенуза движется вокруг оси и образует наклонную боковую поверхность. Такой способ помогает увидеть, почему у тела есть круг внизу и точка наверху.
Высота должна быть перпендикулярна плоскости основания, потому что только так отрезок показывает кратчайшее прямое расстояние до этой плоскости. Если провести линию от вершины к краю основания, она обычно будет наклонной. Она соединяет вершину с окружностью и является образующей, а не высотой. Чтобы проверить отрезок, нужно найти место его встречи с основанием и убедиться, что там отмечен прямой угол.
На плоском листе круглое основание часто рисуют эллипсом: так изображают круг, который виден под углом. Затем отмечают вершину и проводят к ней линии от краёв эллипса. Высоту показывают от вершины к плоскости основания и отмечают прямой угол у её конца. Видимую часть окружности рисуют сплошной линией, а скрытую за боковой поверхностью — обычно пунктиром.
| Элемент или характеристика | Что указать | Как обозначить на рисунке |
|---|---|---|
| Основание | Круг | Круг или эллипс в перспективном изображении |
Сначала найди на рисунке нижнюю круглую часть: это основание. Если круг показан под углом, его контур выглядит как эллипс. Затем проверь, сходятся ли боковые линии к одной точке над основанием.
Среди изображений шара, цилиндра, конуса и призмы нужно выбрать конус и назвать его основание и вершину. Сравнивать фигуры удобнее по их заметным признакам: форме основания и наличию острой верхней точки. Не выбирай предмет только потому, что он кажется заострённым: проверь всё тело целиком.
Найди изображение с одним круглым основанием и боковой поверхностью, которая сужается вверх. Это уже отличает его от цилиндра с двумя круглыми основаниями.
Убедись, что боковые края сходятся к одной точке. У шара такой точки нет, а у призмы боковые грани не сходятся к вершине над круглым основанием.
Назови круг снизу основанием, а точку, где сходятся боковые линии, вершиной. Так ты используешь признаки конуса, а не только внешнее сходство.
Ответ: конус — фигура с одним круглым основанием и одной вершиной; основание находится снизу, вершина — наверху.
На рисунке конуса требуется отметить основание, вершину и высоту, а затем выбрать высоту среди нескольких отрезков. Высота не обязана заканчиваться на краю основания: она заканчивается в плоскости основания. Поэтому при проверке нужно смотреть не только на концы отрезка, но и на угол.
Отметь круг внизу как основание, а точку, к которой сходятся боковые линии, — как вершину. Центр основания расположен внутри круга и вершиной не является.
Проверь каждый предложенный отрезок: он должен начинаться в вершине и доходить до плоскости основания. Если отрезок идёт к краю круга, он обычно является наклонной образующей.
Найди отметку прямого угла у основания отрезка. Только линия, перпендикулярная плоскости основания, подходит под определение высоты.
Ответ: высота — отрезок от вершины к плоскости основания, образующий с ней прямой угол; наклонный отрезок к краю высотой не является.
Нужно изготовить развёртку простого конуса из бумажного круга и сектора, а затем объяснить, какая часть станет основанием, а какая — боковой поверхностью. Развёртка — плоская фигура, из которой можно сложить объёмное тело. Для работы возьми круг и сектор круга — часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой.
Оставь круг для основания: после сборки он будет закрывать нижнюю часть конуса. Сектор предназначен для боковой поверхности, потому что его края можно соединить, свернув бумагу.
Согни сектор так, чтобы его прямые края встретились. Склей или скрепи их, и сектор превратится в поверхность, сужающуюся к одной вершине.
Прикрепи круг к круглому краю получившейся поверхности. Проверь результат: снизу должно быть одно круглое основание, а наверху — одна точка, куда сходится поверхность.
Ответ: бумажный круг становится основанием конуса, а свёрнутый сектор — его боковой поверхностью.
Ошибка — называть конусом любой предмет с заострённым концом. Так думают, потому что обращают внимание только на верхушку и забывают о форме нижней части. Проверь, есть ли у тела одно круглое основание и сходится ли боковая поверхность к одной вершине.
Ошибка — считать высотой наклонный отрезок от вершины к краю основания. Его легко принять за высоту, потому что он соединяет верх и низ конуса, но он не перпендикулярен плоскости основания. Проверь наличие прямого угла: без него отрезок не является высотой.
Ошибка — путать вершину конуса с центром основания. Обе точки могут выглядеть заметно на рисунке, но центр находится внутри круга, а вершина — вне плоскости основания. Проверь, куда сходятся боковые линии: их общая точка и будет вершиной.
Ошибка — рисовать основание обычной окружностью, не учитывая перспективу, или не показывать скрытые линии. На плоском рисунке круг под углом выглядит как эллипс, а часть его края может быть закрыта боковой поверхностью. Проверь, понятна ли форма основания и различаются ли видимые и невидимые участки контура.
Для изучения конуса пригодятся знания о круге, окружности, центре и радиусе. Ещё нужно понимать, что такое перпендикуляр, и уметь изображать объёмные тела на плоскости. Эти знания помогают найти основание и высоту, даже если рисунок показан в перспективе.
Конус удобно сравнивать с цилиндром и призмой. У цилиндра два круглых основания, у конуса — одно круглое основание и вершина, а у призмы основания — одинаковые многоугольники. Сравнение помогает не путать число оснований, форму боковой поверхности и способ изображения тел.
Дальше конус встречается при изучении развёрток, площади поверхности и объёма. Его также сравнивают с другими телами вращения — фигурами, которые получают вращением плоской фигуры вокруг прямой. Понимание устройства конуса поможет разобраться, какие части тела измеряют и как они связаны с его плоской развёрткой.
Чем конус отличается от цилиндра?
У конуса одно круглое основание и одна вершина, а у цилиндра два равных круглых основания и нет вершины. Боковая поверхность конуса сужается к вершине, а у цилиндра соединяет края двух оснований.
Почему высота конуса не всегда совпадает с наклонным отрезком к краю основания?
Высота обязана быть перпендикулярна плоскости основания. Наклонный отрезок идёт к краю основания под углом, поэтому высотой не является. Они могут совпасть только в особом случае, если отрезок перпендикулярен плоскости основания.
Можно ли считать конусом тело без круглого основания?
Нет, в школьной геометрии у конуса должно быть круглое основание. Заострённый предмет без такого основания может быть похож на конус, но по одному острому концу это тело конусом не становится.
Как на рисунке отличить вершину конуса от центра основания?
Вершина расположена над основанием, вне его плоскости, и к ней сходится боковая поверхность. Центр находится внутри основания: от него до любой точки окружности одинаковое расстояние.
Как получить конус вращением прямоугольного треугольника?
Нужно вращать треугольник вокруг одного из его катетов — стороны, образующей прямой угол. Этот катет станет осью вращения и высотой конуса, другой катет задаст радиус основания, а гипотенуза опишет боковую поверхность.
§ 10. Конусы
