10.1. Построение конуса

Определения и обозначения

Конус — геометрическое тело с круглым основанием и одной вершиной, которая не лежит в плоскости основания. Его поверхность образуют основание и боковая поверхность, соединяющая основание с вершиной. Это определение помогает отличить конус от плоского круга.

Основание конуса — круг, от которого начинают изображение тела. Круг включает внутреннюю часть, а его граница называется окружностью. Такое различие нужно, чтобы понимать: основание — не только линия по краю.

Вершина конуса — точка, расположенная вне плоскости основания. На рисунке её ставят над овалом и обозначают, например, буквой S. От вершины будут начинаться боковые линии, поэтому её положение задаёт форму всего конуса.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. Несколько таких отрезков показывают, как боковая поверхность идёт от широкого основания к одной точке. Поэтому образующие должны сходиться в вершине.

Как это устроено

Сначала изображают основание. Круг на плоском листе обычно выглядит овалом, потому что его плоскость мысленно наклонена к нашему взгляду: ближняя и дальняя части кажутся расположенными на разном расстоянии. Если нарисовать обычную окружность, получится впечатление, будто мы смотрим прямо на плоскую фигуру.

Затем отмечают вершину над основанием. Её положение выбирают так, чтобы было понятно, где находится передняя часть конуса и с какой стороны тело ближе к наблюдателю. Если вершина стоит слишком низко или сбоку без причины, объём конуса становится трудно представить.

После этого вершину соединяют с краями основания прямыми отрезками. Эти отрезки являются образующими и показывают, как боковая поверхность сужается к вершине. Они должны начинаться в одной точке, иначе на рисунке получится не один конус, а несколько разных направлений.

Заднюю часть окружности основания проводят пунктиром. Тело конуса закрывает её от наблюдателя, поэтому сплошная линия создала бы впечатление, что вся граница видна сразу. Пунктир сообщает, что эта часть существует, но находится за передней частью тела.

В конце изображение проверяют целиком. Основание должно быть замкнутым овалом, боковые линии — сходиться в одной вершине, а видимая и скрытая части границы — различаться. Такая проверка помогает убедиться, что нарисовано объёмное тело, а не набор отдельных линий.

Элементы конуса и их изображение

Таблица помогает сопоставить название элемента с его смыслом и способом изображения. Сначала найдите в ней нужную часть конуса, затем проверьте, какой линией или точкой она показана на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

Условие: Нарисуйте конус, если заданы положение его вершины и круг основания. Нужно передать на плоском листе форму объёмного тела.

1. Нарисуйте круг основания в виде овала, потому что его плоскость показана под наклоном.
2. Поставьте заданную вершину над овалом.
3. Соедините вершину с краями овала прямыми отрезками, а заднюю часть границы основания сделайте пунктирной.

Ответ: получится изображение конуса с овальным основанием, одной вершиной и обозначенными видимой и невидимой частями окружности.

Задача 2

Условие: Постройте изображение конуса и обозначьте его вершину, основание и две образующие. Подписи не должны закрывать линии.

1. Изобразите основание овалом и выберите точку над ним для вершины S.
2. Проведите из S два отрезка к точкам окружности основания, например SA и SB. Это образующие.
3. Подпишите S около точки, основание — под овалом, а названия образующих — рядом с соответствующими отрезками.

Ответ: на рисунке отмечены вершина S, основание и две образующие SA и SB; подписи не пересекают линии.

Задача 3

Условие: На рисунке конуса определите видимые части окружности основания и исправьте изображение, если задняя часть проведена сплошной линией.

1. Представьте, что наблюдатель смотрит на конус спереди. Передняя дуга основания видна, а задняя скрыта телом.
2. Оставьте переднюю дугу сплошной линией.
3. Заднюю дугу сотрите или перерисуйте короткими штрихами одинаковой длины, не меняя положения основания.

Ответ: видимая передняя часть окружности проведена сплошной линией, а скрытая задняя часть — пунктиром.

Типичные ошибки

Основание иногда рисуют обычным кругом. Так происходит, когда забывают, что на объёмном рисунке мы смотрим на него под углом. Проверьте себя: если основание выглядит как видимая прямо плоская площадка, замените круг овалом.

Всю окружность основания проводят сплошной линией, потому что хотят показать её полностью. Но задняя часть закрыта телом конуса и не может быть видна. Проверьте границу овала: переднюю дугу оставьте сплошной, заднюю обозначьте пунктиром.

Иногда вершину соединяют только с двумя краями овала, не показывая ясно форму основания. Из-за этого непонятно, где находится круг и как он расположен. Убедитесь, что овал замкнут, а боковые отрезки направлены к его краям.

Вершину могут перепутать с центром основания или провести боковые линии в разные точки. Такая ошибка возникает, если не различать точку над основанием и точку внутри овала. Проверьте себя: все образующие должны сходиться в одной верхней точке, а центр основания не является вершиной.

Связь с другими темами

Для построения конуса нужно уметь изображать круг и окружность, различать точку, отрезок и прямую, а также читать простые геометрические чертежи. Эти навыки помогают правильно назвать каждую линию и часть рисунка.

Построение конуса связано с перспективным изображением объёмных тел: предметы на листе показывают не совсем так, как они выглядят в пространстве. Тот же приём пригодится при изображении цилиндра, пирамиды и других геометрических тел.

Что запомнить

• У конуса одно круглое основание и одна вершина.
• На плоском рисунке основание конуса обычно изображают овалом.
• Боковые линии изображения сходятся в вершине.
• Отрезок от вершины до точки окружности основания называется образующей.
• Видимую часть основания проводят сплошной линией.
• Скрытую часть основания показывают пунктиром.