"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю., Велиховская В.Л.
Круговой конус — объёмное тело с одним круглым основанием и вершиной вне его плоскости. Боковая поверхность соединяет вершину со всеми точками окружности основания. У прямого кругового конуса ось проходит через центр основания и перпендикулярна ему, а высота совпадает с этой осью. Образующая соединяет вершину с точкой окружности, поэтому отличается от высоты. Эти понятия помогают узнавать части конуса на рисунке и решать задачи о его строении.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круговой конус — объёмное тело, у которого одно круглое основание и одна вершина. Боковая поверхность соединяет вершину с окружностью основания. Он называется круговым, потому что его основание имеет форму круга.
Основание конуса — круг, ограниченный окружностью, на которой стоит конус. Круг включает внутреннюю область и границу, а окружность является только границей. Это различие нужно, чтобы не называть основанием одну линию.
Вершина конуса — точка, в которой сходятся образующие боковой поверхности. Она расположена вне плоскости основания. По вершине легко понять, где боковая поверхность начинает сужаться.
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину с точкой окружности основания. Таких отрезков можно провести много, ведь на окружности много точек. Образующие показывают направление боковой поверхности.
Сначала представим круг, лежащий в одной плоскости, и точку, которая находится вне этой плоскости. Если соединить эту точку с каждой точкой окружности, получится множество отрезков. Вместе они образуют боковую поверхность конуса, потому что постепенно заполняют её от вершины до края основания. Круг при этом закрывает нижнюю часть тела.
У конуса одно основание, потому что только один круг ограничивает его снизу. Второе «основание» не появляется: все боковые отрезки сходятся в одной общей точке, то есть в вершине. Поэтому боковая поверхность сужается к вершине, а не заканчивается вторым кругом.
Ось конуса проводят от вершины к центру основания. У прямого кругового конуса эта линия перпендикулярна плоскости основания, поэтому конус выглядит симметричным относительно оси. Если провести ось не к центру, она не будет главной осью прямого конуса.
Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Перпендикуляр встречает плоскость под прямым углом, поэтому высота показывает кратчайшее расстояние от вершины до основания. В прямом круговом конусе конец высоты совпадает с центром круга.
Высота и образующая начинаются в одной вершине, но заканчиваются в разных местах. Высота приходит в центр основания и перпендикулярна его плоскости, а образующая приходит к точке окружности. Поэтому образующая обычно наклонена и не является высотой.
| Часть или отрезок | Где расположен | Как распознать на рисунке |
|---|---|---|
| Основание | Внизу, в плоскости круга | Круг, ограниченный окружностью |
| Вершина | Вне плоскости основания | Одна точка, где сходятся образующие |
| Боковая поверхность | Между вершиной и окружностью | Изогнутая часть тела, сужающаяся к вершине |
| Ось | От вершины к центру основания | Прямая через вершину и центр круга |
| Высота | От вершины перпендикулярно основанию | Перпендикуляр к плоскости основания |
| Образующая | От вершины к окружности основания | Наклонный отрезок до края круга |
Пользуйся таблицей, двигаясь от общего к частному: сначала найди круг и вершину, затем поверхность и отрезки. Чтобы отличить ось от образующей, проверь, куда приходит отрезок: в центр или на окружность.
Для высоты дополнительно проверь прямой угол с плоскостью основания. На рисунке объёмного тела окружность может выглядеть как овал, но её роль от этого не меняется.
На рисунке конуса нужно отметить основание, вершину и боковую поверхность. Известно, что изображено объёмное тело с круглой нижней частью. Нужно распознать части по их положению и форме.
Ответ: внизу отмечают круг, на конце конуса — вершину, а внешнюю изогнутую часть между ними — боковую поверхность. Окружность служит границей основания, но не заменяет весь круг. Такой порядок поиска помогает не перепутать линию и часть тела.
Нужно изобразить прямой круговой конус и обозначить центр основания, ось и высоту. Важно использовать свойство прямого конуса, а не проводить отрезок к произвольной точке круга. Поэтому сначала определим положение центра.
Ответ: центр отмечают внутри основания, ось проводят от вершины к этому центру, а высоту обозначают тем же перпендикулярным отрезком. На рисунке можно подписать один отрезок сразу двумя названиями. Это верно для прямого кругового конуса.
Из вершины проведены два отрезка: один идёт к центру основания, другой — к точке окружности. Нужно определить, какой отрезок является высотой, а какой образующей. Для этого сравним не длину, а конечную точку и направление каждого отрезка.
Ответ: отрезок к центру основания — высота, а отрезок к точке окружности — образующая. Высота определяется перпендикулярностью, а образующая — своим концом на окружности. Поэтому одного только общего начала в вершине недостаточно для определения.
Образующую называют высотой. Ошибка возникает потому, что оба отрезка начинаются в вершине. Проверь конец отрезка: высота идёт перпендикулярно к основанию, а образующая — к окружности.
Основанием считают только окружность. Так происходит, когда на рисунке замечают лишь линию края. Проверь себя: основание включает всю область внутри окружности, а окружность является его границей.
Ось проводят к произвольной точке основания. При этом забывают, что для прямого кругового конуса ось должна проходить через центр круга. Найди центр и проверь, соединяет ли с ним отрезок вершину.
Боковую поверхность принимают за плоскую фигуру. Её иногда мысленно заменяют треугольником из-за изображения на бумаге. Проверь, что поверхность изогнута и вместе с основанием образует объёмное тело.
До изучения конуса нужно знать круг, окружность и центр круга. Также пригодится умение распознавать перпендикулярность прямой и плоскости, ведь по ней находят высоту.
Ось, высота и образующая понадобятся при изучении развёртки и площади поверхности конуса. На развёртке боковая поверхность становится частью плоской фигуры, а образующая помогает определить её размеры.
Конус удобно сравнивать с цилиндром и пирамидой. У цилиндра два основания, у пирамиды основание обычно многоугольное, а у конуса одно круглое основание и одна вершина.
Почему конус называется круговым?
Потому что его основанием является круг. Боковая поверхность конуса строится вокруг окружности этого круга.
Чем круговое основание отличается от окружности?
Круг — это вся плоская фигура внутри границы и вместе с границей. Окружность — только граница круга, поэтому основанием конуса считают именно круг.
Где проходит ось прямого кругового конуса?
Ось соединяет вершину конуса с центром его основания. У прямого кругового конуса этот отрезок перпендикулярен плоскости основания.
Чем высота конуса отличается от образующей?
Высота перпендикулярна плоскости основания и опускается из вершины на основание. Образующая соединяет вершину с точкой окружности, поэтому обычно наклонена к основанию.
Может ли образующая быть перпендикулярна основанию?
Для обычного прямого кругового конуса образующая идёт к окружности и потому наклонена к основанию. Перпендикуляр из вершины попадает в центр круга, а не в точку окружности.
10.2. Круговые конусы
