10.3. Многогранные конусы — пирамиды

Определения и обозначения

Многогранный конус — это тело, полученное соединением всех точек многоугольника с точкой, не лежащей в его плоскости; такое тело называют пирамидой. Иными словами, к плоской фигуре добавляют точку вне неё и получают пространственное тело. Это определение помогает отличить пирамиду от плоского многоугольника.

Основание пирамиды — многоугольник, от которого строят пирамиду. Например, если начинают с четырёхугольника, основание будет четырёхугольным. Название основания позволяет сразу понять, какой формы нижняя грань и сколько у неё сторон.

Вершиной пирамиды называют точку вне плоскости основания, с которой соединяют его вершины. Она не совпадает с вершинами многоугольника основания. Это понятие нужно, чтобы правильно называть общую точку боковых граней.

Боковые грани — треугольники, а боковые рёбра соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Например, отрезок от вершины пирамиды до одной из вершин основания — боковое ребро. Эти названия помогают различать части тела и не путать их со сторонами основания.

Как это устроено

Чтобы построить пирамиду, сначала возьми многоугольник и точку вне его плоскости. Затем соедини эту точку отрезком с каждой вершиной многоугольника. Точка не лежит в плоскости основания, поэтому соединения поднимаются над ним и образуют объёмное тело. Если точка лежала бы в плоскости многоугольника, такого пространственного тела не получилось бы.

Каждая боковая грань — треугольник, потому что её образуют общая вершина пирамиды и одна сторона основания. У стороны основания есть два конца, то есть две вершины, а вместе с вершиной пирамиды получается три вершины грани. Три такие точки образуют треугольник. Поэтому у пирамиды не бывает четырёхугольных боковых граней.

Число боковых граней и боковых рёбер связано с основанием: каждому его ребру соответствует боковая грань, а каждой его вершине — боковое ребро. У многоугольника число сторон равно числу вершин, поэтому оба количества совпадают. Например, у основания с пятью сторонами будет пять боковых граней и пять боковых рёбер. Это правило позволяет считать элементы, не перечисляя их по одному.

Пирамиду отличают по трём признакам: у неё есть многоугольное основание, боковые грани имеют форму треугольников, а эти треугольники сходятся в одной общей вершине. Общая вершина находится вне плоскости основания. Если треугольные грани сходятся к разным точкам, это уже не пирамида. Проверка всех признаков помогает не спутать её с другими многогранниками.

На рисунке часть рёбер может быть закрыта гранями, потому что мы смотрим на тело только с одной стороны. Видимые рёбра обычно проводят сплошными линиями, а невидимые условно изображают пунктиром. Пунктир показывает, где проходит ребро за видимой частью тела. Поэтому на чертеже могут быть показаны рёбра, которые нельзя увидеть с выбранной точки обзора.

Элементы пирамид с разными основаниями

Сравни в таблице пирамиды с основаниями разной формы. Для основания из n сторон соответствующие количества выражаются через n: столько же будет его вершин, боковых граней и боковых рёбер. Общее число граней включает само основание и все боковые грани.

Разбор задач

Задача 1. У пирамиды основание — пятиугольник. Сколько у неё боковых граней и боковых рёбер? Нужно связать стороны и вершины основания с боковыми элементами, а не считать основание отдельной боковой гранью. У пятиугольника пять сторон и пять вершин.

1. Определи число сторон основания: у пятиугольника их пять.
2. С каждой стороной основания связана одна боковая грань, значит, таких граней пять.
3. С каждой вершиной основания связано одно боковое ребро, поэтому боковых рёбер тоже пять.

Ответ: 5 боковых граней и 5 боковых рёбер. При проверке удобно сопоставить каждую боковую грань стороне основания, а каждое боковое ребро вершине основания. Так не получится пропустить один из элементов.

Задача 2. На рисунке изображена пирамида с четырёхугольным основанием. Назови основание, вершину, боковые грани и боковые рёбра. Сначала найди четырёхугольник, который служит основанием, и общую точку треугольных граней. Чтобы перечислить элементы, можно обозначить вершины основания буквами A, B, C, D, а общую вершину — S.

1. Основание — четырёхугольник ABCD.
2. Вершина пирамиды — точка S вне плоскости ABCD.
3. Боковые грани — треугольники SAB, SBC, SCD и SDA: каждый включает S и одну сторону основания.
4. Боковые рёбра — отрезки SA, SB, SC и SD, соединяющие S с вершинами основания.

Ответ: основание ABCD, вершина S, боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA, боковые рёбра SA, SB, SC, SD. Буквы на конкретном рисунке могут быть другими, поэтому сначала находят элементы по их роли, а затем называют их обозначения. Общая точка треугольных граней — вершина пирамиды.

Задача 3. У многогранника одна грань — пятиугольник, а остальные грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине. Объясни, почему это пирамида, и найди число всех её граней и боковых рёбер. Пятиугольник здесь выступает основанием, а общая точка треугольников — вершиной вне плоскости основания. Эти признаки соответствуют устройству пирамиды.

1. Проверь признаки: есть многоугольное основание и треугольные боковые грани с общей вершиной.
2. У пятиугольника пять сторон, значит, боковых треугольных граней пять.
3. Добавь основание: всего граней 5 + 1 = 6.
4. У основания пять вершин, поэтому боковых рёбер пять.

Ответ: это пирамида; у неё 6 граней всего и 5 боковых рёбер. В общее число граней включают основание, а число боковых рёбер считают по вершинам основания. Эти два подсчёта важно не смешивать.

Типичные ошибки

Иногда вершиной пирамиды называют вершину основания. Так происходит потому, что оба элемента называются вершинами. Проверь себя: вершина пирамиды находится вне плоскости основания и является общей для боковых граней, а вершины основания лежат на его многоугольнике.

Основанием порой считают любую грань пирамиды. Но основание — выбранный многоугольник, от которого строят пирамиду; остальные грани являются боковыми. Ошибка возникает, если не разделять нижний многоугольник и треугольники вокруг него. Проверь, какая грань имеет форму многоугольника основания, а какие соединяются в общей вершине.

Боковое ребро можно перепутать со стороной основания. Причина в том, что оба отрезка — рёбра многогранника. Чтобы проверить себя, проследи концы отрезка: боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а ребро основания целиком лежит на многоугольнике.

Иногда считают, что боковых граней на одну меньше, чем сторон основания. Обычно забывают, что треугольник образуется у каждой стороны отдельно. Сосчитай стороны многоугольника и сопоставь каждой одну боковую грань: количества равны. Например, у пятиугольного основания пять боковых граней, а не четыре.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужно знать многоугольники, уметь различать их стороны и вершины. Ещё важно понимать разницу между плоской фигурой и пространственным телом: основание плоское, а пирамида занимает часть пространства. Эти знания помогают правильно находить элементы пирамиды и читать её изображение.

Понятие пирамиды пригодится при изучении других многогранников и их развёрток. Развёртка показывает грани тела на плоскости, а знание устройства пирамиды помогает увидеть в ней основание и боковые треугольники. Позже те же элементы понадобятся при изучении площади поверхности и объёма.

Что запомнить

• Пирамида — многогранник с многоугольным основанием и общей вершиной боковых граней.
• Вершина пирамиды не лежит в плоскости основания.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• Число боковых рёбер равно числу вершин основания.
• Основание пирамиды — многоугольник.