10.4. Элементы пирамиды

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Проще говоря, это тело с многоугольником внизу и треугольными гранями, сходящимися наверху. Определение помогает отличить пирамиду от других многогранников и распознать её на рисунке.

Основание пирамиды — многоугольник, с которым соединены боковые грани. Оно задаёт форму нижней грани: например, основание может быть треугольником, четырёхугольником или пятиугольником. Чтобы описать пирамиду, сначала находят основание и считают его стороны.

Боковая грань — треугольная грань пирамиды, имеющая общую вершину с другими боковыми гранями. У каждой такой грани есть сторона основания и две стороны, ведущие к вершине пирамиды. Это понятие нужно, чтобы отличать боковые части тела от его основания и правильно считать грани.

Вершина пирамиды — общая вершина боковых граней, не лежащая в плоскости основания. Она соединена рёбрами с вершинами основания, а сами боковые грани сходятся именно в ней. Не путай её с вершинами многоугольника в основании: они находятся в другой плоскости и принадлежат основанию.

Как это устроено

Представь многоугольник и точку, которая находится вне плоскости этого многоугольника. Если соединить эту точку с каждой вершиной основания, между соседними соединяющими отрезками и сторонами основания появятся треугольники. Так получается пирамида: многоугольник остаётся основанием, а треугольники становятся боковыми гранями. Точка вне плоскости нужна, чтобы боковые грани поднялись над основанием и образовали объёмное тело.

У каждой стороны основания появляется своя боковая грань. Ведь сторона и два отрезка от её концов к общей вершине образуют треугольник. Поэтому, если у основания четыре стороны, вокруг него будет четыре боковые грани; если пять — пять. Число боковых граней всегда совпадает с числом сторон основания.

Рёбра — это отрезки, по которым встречаются грани многогранника. Стороны основания образуют рёбра основания, а отрезки от вершины пирамиды к вершинам основания — боковые рёбра. У основания с n сторонами есть n вершин, поэтому к ним ведут n боковых рёбер. Вместе с n рёбрами основания получается 2n рёбер.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Перпендикуляр — это отрезок, который образует прямой угол с плоскостью, поэтому высота показывает расстояние от вершины до основания. Она не обязана совпадать с боковым ребром: ребро обычно наклонено к плоскости. Если вершина смещена в сторону, перпендикуляр может попасть на продолжение основания, а не внутрь многоугольника.

Если в основании n-угольник, у пирамиды n боковых граней, n боковых рёбер и n рёбер основания. К этим n треугольным граням добавляется само основание, поэтому граней всего n + 1. Вершин также n + 1: все n вершин основания и одна общая вершина пирамиды. Эти подсчёты позволяют проверять, не пропущен ли элемент в задаче.

Элементы пирамиды с n-угольником в основании

Буквой n обозначено число сторон многоугольника в основании. Найди нужный элемент в первом столбце, а затем проверь его описание и количество. Например, если основание — шестиугольник, подставь n = 6: боковых граней будет 6, а всех рёбер — 12.

Разбор задач

Задача 1. У пирамиды основание — треугольник. Сколько у неё боковых граней и боковых рёбер? Сначала определим, сколько сторон и вершин у основания: у треугольника их по три. Затем применим правило соответствия: каждой стороне соответствует боковая грань, а каждой вершине основания — боковое ребро.

1. У треугольного основания 3 стороны. Значит, каждой из них соответствует одна боковая грань.
2. У основания 3 вершины. К каждой из них от вершины пирамиды идёт одно боковое ребро.
3. Итак, боковых граней 3, и боковых рёбер тоже 3.

Ответ: 3 боковые грани и 3 боковых ребра. Числа совпали не случайно: и стороны, и вершины треугольника можно пересчитать по три.

Задача 2. Основание пирамиды — пятиугольник. Найдите число её граней, вершин и рёбер. У пятиугольника пять сторон и пять вершин, поэтому обозначим n = 5. К боковым граням добавим основание, к вершинам основания — вершину пирамиды, а рёбра основания сложим с боковыми рёбрами.

1. Граней: n + 1 = 5 + 1 = 6. Это пять боковых треугольников и одно основание.
2. Вершин: n + 1 = 5 + 1 = 6. Это пять вершин основания и общая вершина пирамиды.
3. Рёбер: 2n = 2 · 5 = 10. Пять рёбер лежат в основании и пять идут к вершине пирамиды.

Ответ: 6 граней, 6 вершин и 10 рёбер. Проверка по частям помогает не забыть основание или боковые рёбра.

Задача 3. На рисунке изображена пирамида с четырёхугольным основанием. Назовите основание, боковые грани, рёбра основания, боковые рёбра и высоту. Буквы вершин зависят от обозначений на конкретном рисунке, поэтому распознавать элементы нужно по их расположению и роли. Сначала найди четырёхугольную грань, а затем вершину, в которой сходятся треугольники.

1. Назови основанием четырёхугольную грань, которая не содержит общую вершину боковых граней.
2. Боковыми гранями назови все треугольники, прилегающие к сторонам основания и сходящиеся в общей вершине.
3. Рёбра основания — четыре стороны четырёхугольника; боковые рёбра соединяют его вершины с общей вершиной пирамиды.
4. Высоту найди среди перпендикуляров из общей вершины к плоскости основания. Она может оканчиваться не внутри четырёхугольника.

Ответ: элементы называются по указанным признакам; высота — именно перпендикуляр к плоскости основания, а не любой отрезок от вершины.

Типичные ошибки

Можно ошибочно назвать вершиной пирамиды один из углов основания. Так происходит, потому что обе точки выглядят как вершины на рисунке, но только одна является общей для боковых граней и находится вне плоскости основания. Проверь себя: если точка принадлежит многоугольнику основания, это его вершина, а не вершина пирамиды.

Иногда рёбра основания принимают за боковые рёбра. Путаница появляется потому, что оба вида рёбер являются отрезками между вершинами. Посмотри, какие точки соединяет отрезок: сторона многоугольника — ребро основания, а отрезок от общей вершины к вершине основания — боковое ребро.

Боковое ребро можно принять за высоту, потому что оба отрезка начинаются в вершине пирамиды. Но ребро наклонено к основанию, а высота обязана быть перпендикулярна плоскости основания. Чтобы проверить себя, ищи отметку прямого угла или убедись по условию, что отрезок образует с плоскостью основания прямой угол.

Ещё одна ошибка — считать, что основание обязательно правильное, то есть имеет равные стороны и углы. Возможно, так кажется из-за аккуратных изображений, но определение пирамиды этого не требует. Проверь основание: достаточно, чтобы оно было многоугольником, а его вершины соединялись с общей вершиной пирамиды.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужно знать, что такое многоугольник, его стороны и вершины, а также грань и ребро многогранника. Эти понятия помогают распознать основание, посчитать элементы и понять, какие части тела соприкасаются. Если слова «грань» или «ребро» пока непонятны, сначала вспомни, что грани — плоские части поверхности, а рёбра — отрезки на их стыках. Знание элементов пирамиды пригодится дальше: по ним строят её развёртку и изучают площадь поверхности и объём.

Что запомнить

• У пирамиды одно многоугольное основание.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники.
• Боковые грани имеют одну общую вершину.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У пирамиды с n-угольным основанием 2n рёбер.