20. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, поверхность которой состоит из прямоугольников. В отличие от других параллелепипедов, его грани имеют именно форму прямоугольников, а не, например, наклонных четырёхугольников. Такую фигуру можно увидеть в форме коробки или книги. Это название помогает отличить её от других объёмных тел.

Грань — прямоугольник, ограничивающий часть поверхности фигуры. У прямоугольного параллелепипеда шесть граней: передняя и задняя, левая и правая, верхняя и нижняя. Грани нужны, чтобы описывать поверхности фигуры и сравнивать противоположные части. На рисунке некоторые из них могут быть закрыты.

Ребро — отрезок, по которому встречаются две грани. Рёбра образуют каркас фигуры: они отделяют грани друг от друга и соединяют вершины. У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер. По ним удобно определять размеры коробки.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра. Например, угол коробки — её вершина, а линии, сходящиеся в этом углу, — рёбра. У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин. Вершины помогают увидеть, как части каркаса соединены между собой.

Как это устроено

Если соединить прямоугольники сторонами так, чтобы края подходили друг к другу, получится замкнутая поверхность объёмной фигуры. Каждый прямоугольник становится её гранью, а общие стороны соседних прямоугольников — рёбрами. В месте встречи нескольких таких сторон появляется вершина. Именно соединение граней, а не просто наличие прямоугольников, создаёт параллелепипед.

Шесть граней образуют три пары: у каждой грани есть противоположная ей. Двенадцать рёбер можно разделить на три группы по направлению: в каждой группе по четыре ребра. Восемь вершин получаются потому, что у фигуры есть четыре угла сверху и четыре снизу. Такой подсчёт помогает не забыть части, которые на рисунке скрыты.

Противоположные грани равны, потому что они имеют одинаковые длину и ширину и расположены напротив друг друга. Рёбра одного направления также равны: например, все рёбра, идущие слева направо, имеют одну длину. Они параллельны, то есть не пересеклись бы, если бы их продолжили. Поэтому у фигуры не двенадцать произвольных длин, а три группы одинаковых рёбер.

Длина, ширина и высота задают три размера прямоугольного параллелепипеда. Каждому размеру соответствует направление рёбер: длина идёт вдоль основания, ширина — поперёк него, высота — от нижней грани к верхней. Названия направлений помогают описать коробку, даже если её повернули и на рисунке она выглядит иначе. Например, у коробки длина может быть 8 см, ширина 5 см, а высота 3 см.

Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда, потому что его грани тоже прямоугольники, но все они дополнительно являются равными квадратами. У квадрата соседние стороны равны, поэтому у куба равны и все рёбра. Значит, любой куб можно назвать прямоугольным параллелепипедом, но не любой прямоугольный параллелепипед является кубом. Это различие определяется формой граней и равенством размеров.

Элементы и свойства прямоугольного параллелепипеда

Используй таблицу, чтобы быстро проверить подсчёт элементов или вспомнить форму граней. Если дана длина, ширина и высота, соотнеси каждый размер с одним из трёх направлений рёбер. Так легче не перепутать размеры с числом рёбер.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке прямоугольного параллелепипеда найдите грань, ребро и вершину. Сначала представим, что перед нами коробка: её стенки, верх и дно являются плоскими частями поверхности. Линии, где эти части соединяются, образуют каркас, а углы каркаса — точки встречи рёбер.

1. Выберем переднюю стенку коробки: это прямоугольная часть поверхности, значит, она является гранью.
2. Посмотрим на линию между передней и верхней гранями: это общий отрезок двух граней, значит, он является ребром.
3. Найдём угол, в котором встречаются три ребра: это вершина.

Ответ: передняя стенка — грань, линия соединения граней — ребро, угол встречи рёбер — вершина. Не нужно называть ребром всю стенку или вершиной её угол на плоскости. Проверяй себя по определению каждого элемента.

Задача 2

Сколько граней, рёбер и вершин у коробки в форме прямоугольного параллелепипеда? Сравните размеры противоположных граней. Считать только видимые на картинке части нельзя, потому что у объёмного предмета есть и скрытая задняя сторона. Удобно мысленно проследить все стороны коробки.

1. Перечислим пары граней: переднюю с задней, левую с правой, верхнюю с нижней. Получаем 6 граней.
2. Сосчитаем рёбра по направлениям: четыре идут вдоль, четыре поперёк и четыре по высоте. Всего 4 + 4 + 4 = 12 рёбер.
3. У верхней и нижней частей по четыре угла, значит, всего 8 вершин. Каждая пара противоположных граней имеет одинаковые размеры.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; противоположные грани равны. Равенство объясняется тем, что грани каждой пары имеют одинаковые длину и ширину. Проверка по трём парам помогает учесть даже невидимые грани.

Задача 3

У прямоугольного параллелепипеда длина равна 8 см, ширина — 5 см, высота — 3 см. Сколько рёбер имеют длину 8 см, 5 см и 3 см? Не будем искать каждое ребро по отдельности: равные рёбра сгруппированы по тому, в каком направлении они идут. В каждом из трёх направлений есть четыре ребра.

1. Найдём группу рёбер, соответствующую длине 8 см: в ней четыре ребра.
2. Для ширины 5 см также получаем четыре ребра, потому что это второе направление.
3. Для высоты 3 см получаем ещё четыре ребра, направленные снизу вверх.

Ответ: длину 8 см имеют 4 ребра, длину 5 см — 4 ребра, длину 3 см — 4 ребра. Каждая группа состоит из параллельных рёбер, поэтому все четыре в ней равны. Всего 4 + 4 + 4 = 12 рёбер, что совпадает с общим числом рёбер фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать гранью ребро или вершину. Так бывает, если просто указать на заметную часть рисунка, не разобравшись, что именно она обозначает. Проверь себя: грань занимает часть поверхности, ребро — линия, вершина — точка. Если выбранный объект не соответствует этому описанию, название неверно.

Ошибка: насчитать только четыре грани, потому что видны не все стороны рисунка. Невидимые грани могут быть закрыты передней частью фигуры, и их легко не учесть. Мысленно обойди коробку со всех сторон или перечисли три пары противоположных граней. Если получилось только две пары, подсчёт не завершён.

Ошибка: считать, что все рёбра прямоугольного параллелепипеда равны. Это верно только для куба, а у обычной коробки длина, ширина и высота могут различаться. Сгруппируй рёбра по направлениям: внутри каждой группы длины одинаковы, но разные группы могут иметь разную длину. Проверяй каждое ребро по тому, с каким направлением оно совпадает.

Ошибка: называть кубом любой прямоугольный параллелепипед. Прямоугольные грани сами по себе ещё не делают фигуру кубом: у прямоугольников стороны могут иметь разную длину. Чтобы проверить, куб ли перед тобой, выясни, являются ли все грани равными квадратами. Если хотя бы размеры рёбер разных направлений не совпадают, это не куб.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольного параллелепипеда пригодятся знания о прямоугольнике: его сторонах, углах и противоположных сторонах. Также нужно понимать, что отрезок соединяет две точки, а точка может быть местом встречи нескольких отрезков. Эти знакомые понятия помогают разобраться в гранях, рёбрах и вершинах объёмной фигуры.

Представление о гранях, рёбрах и вершинах понадобится при изучении других объёмных тел и их развёрток. Развёртка показывает грани, расположенные на плоскости, которые можно сложить в объёмную фигуру. Понимание устройства параллелепипеда также пригодится при вычислении площади его поверхности и объёма.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
• Противоположные грани равны.
• Рёбра, параллельные друг другу, равны.
• Длину, ширину и высоту задают рёбра трёх направлений.
• Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты.