19. Единицы измерения площадей

Определения и обозначения

Единица измерения площади — квадратная единица, то есть площадь квадрата, сторона которого равна выбранной единице длины. Например, если за единицу длины взят сантиметр, то площадь квадрата со стороной 1 см становится единицей площади. Такая договорённость позволяет измерять площади разных фигур одинаковым способом. Результат измерения записывают числом и обозначением квадратной единицы.

Квадратный сантиметр обозначают см²: это площадь квадрата со стороной 1 см. Аналогично квадратный миллиметр, мм², — площадь квадрата со стороной 1 мм, а квадратный дециметр, дм², — площадь квадрата со стороной 1 дм. Эти единицы подходят для предметов и фигур разного размера. Например, см² удобно использовать для небольшой поверхности, а дм² — для поверхности побольше.

Квадратный метр обозначают м²; это площадь квадрата со стороной 1 м. В квадратных метрах обычно измеряют площади помещений, квартир и участков. Размер такой единицы удобен, когда считать сантиметровые квадраты было бы слишком долго. Для больших территорий применяют специальные единицы, связанные с квадратным метром.

Ар обозначают а, а гектар — га; это единицы измерения больших площадей. Один ар равен 100 м², а один гектар равен 10 000 м². Они помогают короче записывать площадь земель, садов и полей. Зная связь с квадратным метром, можно переводить ары и гектары в привычные квадратные единицы.

Как это устроено

Чтобы измерить площадь, фигуру мысленно или на рисунке покрывают одинаковыми квадратами. Квадраты должны заполнять всю поверхность: между ними не оставляют промежутков и не накладывают один на другой. Тогда каждый участок фигуры учитывается один раз, и число квадратов показывает её площадь в выбранных единицах. Если квадраты разные или уложены с пробелами, подсчёт даст неверный результат.

При переходе от квадратных единиц нельзя просто умножать на 10, как при переходе между единицами длины. Причина в том, что квадрат имеет две стороны: когда каждая сторона становится в 10 раз длиннее, вдоль одной стороны помещается в 10 раз больше маленьких квадратов, и столько же — вдоль другой. Поэтому всего их 10 × 10 = 100. Так получается 1 дм² = 100 см², а не 10 см².

По той же причине соотношение единиц длины нужно возвести в квадрат. В 1 м содержится 10 дм, поэтому квадратный метр можно представить как квадрат из 10 рядов по 10 квадратных дециметров: 1 м² = 100 дм². А в одном метре 100 сантиметров, значит, квадрат со стороной 1 м содержит 100 × 100 = 10 000 квадратов со стороной 1 см. Итак, 1 м² = 100 дм² = 10 000 см².

При переводе из крупных квадратных единиц в мелкие число обычно увеличивается: одна крупная единица содержит много мелких. Поэтому умножают на соответствующее число, например при переводе дм² в см² — на 100. При переводе из мелких единиц в крупные число уменьшается, и нужно делить на тот же коэффициент. Перед вычислением полезно записать равенство единиц и проверить, в какую сторону меняется числовое значение.

Ар и гектар связаны с квадратным метром, поэтому большие площади можно перевести в м² и сравнить или вычислить. Один ар — это 100 м², а гектар содержит 100 аров, то есть 10 000 м². Такие единицы удобны для земельных участков: вместо длинной записи в квадратных метрах можно использовать короткое число гектаров и аров. Если площадь состоит из нескольких частей, каждую часть сначала переводят в одну единицу, а затем складывают.

Квадратные единицы площади и их соотношения

Чтобы перевести площадь, найди в таблице нужную единицу и связь с той, в которую требуется перейти. При переходе к меньшим единицам умножай, а при переходе к большим — дели. В последнем столбце можно проверить, какая площадь в квадратных метрах соответствует каждой единице.

Разбор задач

Задача 1. Выразить 7 дм² в квадратных сантиметрах. Нужно понять, сколько квадратных сантиметров содержится в одном квадратном дециметре, и учесть, что таких дециметров семь. Поскольку перевод идёт из более крупной единицы в более мелкую, числовое значение должно увеличиться. Для проверки используем равенство 1 дм² = 100 см².

1. Записываем соотношение: 1 дм² = 100 см².
2. Умножаем количество квадратных дециметров на 100: 7 × 100 = 700.
3. Записываем результат в требуемой единице: 7 дм² = 700 см².

Ответ: 700 см².

Задача 2. Сравнить 4500 см² и 5 дм². Числа 4500 и 5 напрямую сравнивать нельзя: они относятся к разным единицам. Переведём квадратные дециметры в квадратные сантиметры, чтобы обе величины были выражены одинаково. После этого сравним уже только числа.

1. Используем соотношение 1 дм² = 100 см².
2. Переводим вторую площадь: 5 дм² = 5 × 100 = 500 см².
3. Сравниваем: 4500 см² больше 500 см², значит, 4500 см² > 5 дм².

Ответ: 4500 см² > 5 дм².

Задача 3. Участок имеет площадь 3 га 25 а. Выразить его площадь в квадратных метрах. Здесь площадь дана двумя частями, поэтому сначала каждую из них переведём в м² отдельно. Затем сложим полученные площади, потому что весь участок состоит из этих частей. Важно не складывать числа 3 и 25 до перевода: гектары и ары имеют разный размер.

1. Переводим гектары: 1 га = 10 000 м², поэтому 3 га = 3 × 10 000 = 30 000 м².
2. Переводим ары: 1 а = 100 м², поэтому 25 а = 25 × 100 = 2500 м².
3. Складываем площади: 30 000 + 2500 = 32 500 м².

Ответ: 32 500 м².

Типичные ошибки

Ошибка — умножать соотношение единиц длины только на 10, переходя между квадратными единицами. Так делают, потому что вспоминают: 1 дм = 10 см, но забывают, что площадь зависит от двух сторон квадрата. Нужно учитывать обе стороны: 10 × 10 = 100, значит, 1 дм² = 100 см². Проверь себя, спросив, сколько маленьких квадратов помещается вдоль каждой стороны.

Неверно считать, что 1 м² = 100 см²: число 100 относится к количеству сантиметров в метре, а не квадратных сантиметров в квадратном метре. У квадрата со стороной 1 м по каждой стороне помещается 100 отрезков по 1 см, поэтому квадратов будет 100 × 100 = 10 000. Для проверки всегда возводи соотношение единиц длины в квадрат. Получается 1 м² = 10 000 см².

Нельзя сравнивать только числовые значения площадей, если единицы разные. Например, запись 5 дм² — это не то же самое, что 5 см²: один квадратный дециметр содержит 100 квадратных сантиметров. Ошибку допускают, когда не замечают обозначения рядом с числом. Перед сравнением переведи обе площади в одинаковые единицы и только тогда поставь знак сравнения.

Ар и гектар иногда путают или меняют соотношение на обратное. Запомни: гектар больше ара, потому что 1 га = 100 а = 10 000 м², тогда как 1 а = 100 м². Для самопроверки переведи обе единицы в квадратные метры: площадь гектара должна оказаться значительно больше. Если получилось наоборот, проверь, не переставлены ли местами единицы.

Связь с другими темами

Для работы с площадями пригодятся единицы длины и их соотношения: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр и километр. Понимание того, что такое площадь, и формула площади прямоугольника помогают находить результат в квадратных единицах. Перевод площадей нужен в задачах о комнатах, участках и полях. Эти умения также помогают сравнивать величины и решать задачи с другими единицами измерения.

Что запомнить

• Площадь выражают в квадратных единицах.
• 1 см² — площадь квадрата со стороной 1 см.
• 1 дм² = 100 см².
• 1 м² = 100 дм² = 10 000 см².
• 1 а = 100 м².
• 1 га = 100 а = 10 000 м².
• Перед сравнением площадей вырази их в одинаковых единицах.