18. Площадь. Формула площади прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Сравнить две фигуры можно наложением: если одна целиком помещается внутри другой, её площадь не больше. Это понятие нужно, чтобы измерять поверхности и сравнивать их размер, даже если фигуры имеют разную форму.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за одну единицу площади. Им измеряют фигуры: покрывают их такими квадратами и считают, сколько квадратов уместилось. Единичный квадрат служит меркой, как отрезок заданной длины служит меркой при измерении длины.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Его обозначают см²; маленькая цифра 2 показывает, что речь идёт о квадрате, а не о длине в сантиметрах. Эта единица нужна для измерения небольших поверхностей, например площади тетрадного листа.

Формула площади прямоугольника — правило S = a · b. Здесь S означает площадь, а a и b — длины двух сторон прямоугольника; точка означает умножение. Если стороны измерены в сантиметрах, площадь выражают в квадратных сантиметрах, потому что перемножаются две длины.

Как это устроено

Площади удобно сравнивать наложением: фигуры совмещают, чтобы увидеть, какая занимает больше места. Если их нельзя совместить напрямую, можно измерить площадь каждой одинаковыми квадратами и сравнить результаты. Разрезание помогает сравнивать сложные формы: если части одной фигуры переставить и получить другую, не растягивая и не теряя их, площадь останется прежней. Ведь при перестановке частей количество занимаемого места не меняется.

Чтобы измерить площадь, фигуру покрывают единичными квадратами без промежутков и наложений. Промежутки оставили бы часть поверхности неизмеренной, а наложения заставили бы посчитать одно и то же место дважды. Поэтому число квадратов точно показывает, сколько единиц площади содержится в фигуре. Если квадраты одинаковые, результат можно сравнивать с измерениями других фигур.

Рассмотрим прямоугольник, стороны которого выражены целым числом единичных отрезков. Его можно разбить на ряды одинаковых квадратов: в каждом ряду окажется столько квадратов, сколько единичных отрезков укладывается вдоль одной стороны. Количество рядов определяется другой стороной. Чтобы узнать общее число квадратов, умножают число рядов на число квадратов в одном ряду: так появляется произведение длин сторон.

Если стороны прямоугольника имеют длины a и b, применяется формула S = a · b. Например, произведение показывает, сколько квадратов поместится внутри прямоугольника, если его стороны измерены в единичных отрезках. Единицы площади тоже получаются квадратными: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Поэтому длины в сантиметрах дают площадь в квадратных сантиметрах.

Перед вычислением проверь, в каких единицах заданы стороны. Если одна длина дана в метрах, а другая в дециметрах, напрямую перемножать числа нельзя: единичные отрезки должны быть одинаковыми. Переведи одну из длин, чтобы обе были выражены, например, в метрах. После умножения запиши ответ в квадратных метрах; выбранная единица площади должна соответствовать единицам сторон.

Единицы измерения площади

В третьем столбце указана сторона квадрата, площадь которого равна одной соответствующей единице. Например, квадрат со стороной 1 дм имеет площадь 1 дм². Выбирай единицу по размеру поверхности: небольшие фигуры удобно измерять в см², а большие — в м².

Разбор задач

Сравнение площадей по клеткам

У первой фигуры 12 одинаковых клеток, у второй — 15. Предполагается, что каждая клетка имеет одну и ту же площадь, поэтому количество клеток можно сравнить напрямую. Здесь не нужно знать форму фигур: для сравнения достаточно посчитать одинаковые единицы площади.

1. Считаем клетки первой фигуры: их 12.
2. Считаем клетки второй фигуры: их 15.
3. Сравниваем числа: 15 больше 12 на 3, значит, вторая фигура занимает больше места.

Ответ: площадь второй фигуры больше площади первой на 3 клетки, или на 3 единицы площади. Такой вывод верен, потому что клетки одинаковые и покрывают фигуры без промежутков и наложений.

Площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см

Нужно найти площадь прямоугольника, одна сторона которого равна 7 см, а другая — 4 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому сначала ничего переводить не требуется. Умножение покажет, сколько квадратов со стороной 1 см укладывается внутри прямоугольника.

1. Записываем формулу: S = a · b.
2. Подставляем длины сторон: S = 7 · 4.
3. Вычисляем произведение: 7 · 4 = 28.
4. Поскольку стороны даны в сантиметрах, выбираем квадратную единицу — см².

Ответ: площадь прямоугольника равна 28 см². Проверка смысла помогает не спутать площадь с периметром: число 28 показывает количество квадратных сантиметров внутри фигуры, а не длину её границы.

Площадка с длиной 3 м и шириной 40 дм

Длина площадки равна 3 м, а ширина — 40 дм; требуется найти площадь в квадратных метрах. Записанные числа пока нельзя подставить в формулу напрямую, потому что метры и дециметры — разные единицы длины. Переведём ширину в метры, чтобы обе стороны измерялись одинаково.

1. В одном метре 10 дециметров, поэтому 40 дм = 4 м.
2. Записываем формулу: S = a · b.
3. Подставляем стороны в метрах: S = 3 · 4.
4. Вычисляем: 3 · 4 = 12; единица площади — м².

Ответ: площадь площадки равна 12 м². После перевода ширина стала в 10 раз меньше числом, но это та же самая длина, поэтому площадь получена в нужной единице. Если оставить сторону в дециметрах, результат сначала будет в квадратных дециметрах и его пришлось бы дополнительно переводить.

Типичные ошибки

Иногда длины сторон складывают вместо того, чтобы умножать. Так находят часть периметра, то есть длину границы, а не площадь внутренней поверхности. Проверь себя вопросом: нужно измерить границу или место внутри фигуры? Для площади прямоугольника используй S = a · b.

Ответ могут записать в сантиметрах, хотя вычисляли площадь. Такая ошибка появляется, когда единицу длины переносят в ответ, не замечая, что перемножили две длины. Если стороны заданы в сантиметрах, площадь записывают в квадратных сантиметрах — см². Проверь, есть ли у единицы площади маленькая цифра 2.

Нельзя просто перемножать числа, если одна сторона дана в метрах, а другая в дециметрах. Числа относятся к разным единицам, поэтому результат будет неверным или его единицу будет легко перепутать. Перед вычислением переведи стороны к одной единице, а затем запиши площадь в соответствующих квадратных единицах.

Длину и ширину иногда путают, думая, что для каждой нужно особое место в формуле. На самом деле их можно обозначить a и b в любом порядке: от перестановки множителей произведение не меняется. Ошибка возникает, если вместо одной из сторон подставляют периметр или другую величину. Проверь, что в формуле стоят именно две длины сторон.

Связь с другими темами

Для вычисления площади прямоугольника нужно уметь измерять длины отрезков. Также пригодится перевод единиц длины: например, понимание, сколько дециметров содержится в метре. Эти навыки помогают привести стороны к одной единице и верно выбрать единицу площади.

Формула прямоугольника пригодится при изучении площади квадрата: квадрат можно считать прямоугольником с равными сторонами. Понятие площади помогает находить площадь составных фигур, разделяя их на более простые части. Оно также используется в практических задачах, например при расчёте поверхности площадки или комнаты.

Что запомнить

• Площадь характеризует размер фигуры на плоскости.
• Площадь измеряют, покрывая фигуру единичными квадратами.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: S = a · b.
• Длины сторон перед вычислением должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Площадь записывают в квадратных единицах: мм², см², дм², м².
• Перестановка множителей не меняет площадь прямоугольника.