"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Площадь показывает, сколько места занимает поверхность. Чтобы измерять её, выбирают квадрат с известной стороной и считают его площадь за единицу. Поэтому единицы площади связаны с единицами длины: например, квадратный сантиметр — это площадь квадрата со стороной 1 см. При переводе единиц важно помнить: длина меняется у обеих сторон квадрата, поэтому соседние квадратные единицы отличаются в 100 раз. Для больших участков используют ары, гектары и квадратные километры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения площади — это квадрат, сторона которого равна выбранной единице длины; площадь такого квадрата принимают за одну единицу площади. Например, если за единицу длины взяли сантиметр, то рассматривают квадрат со стороной 1 см. Такая договорённость помогает измерять поверхности и сравнивать их.
Квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см. Обозначение см² читают «квадратный сантиметр», а маленькая цифра 2 показывает, что речь идёт о площади, а не о длине. Эту единицу удобно применять для небольших поверхностей, например обложки тетради.
Квадратный дециметр (дм²) — площадь квадрата со стороной 1 дм, а квадратный метр (м²) — площадь квадрата со стороной 1 м. Их используют, когда квадратные сантиметры оказываются слишком мелкой единицей. Например, площадь пола комнаты удобнее выражать в квадратных метрах.
Ар — единица площади, равная 100 м²; гектар — единица площади, равная 10 000 м². Ар обозначают буквой а, гектар — га. Эти единицы нужны для измерения земельных участков, потому что записывать их площадь в квадратных метрах часто неудобно.
Площадь квадрата находят, умножая длину стороны на саму себя. У квадрата со стороной 1 см получается 1 · 1 = 1 квадратный сантиметр, поэтому его площадь и называют 1 см². Название единицы сохраняет связь с исходной длиной, но указывает уже на поверхность. Так появляется единица, которой можно измерять площадь других фигур.
Рассмотрим квадрат со стороной 1 дм. В одном дециметре 10 сантиметров, значит, каждая сторона такого квадрата равна 10 см и её можно разделить на 10 равных отрезков. Если провести линии через эти деления, получится 10 рядов по 10 маленьких квадратов со стороной 1 см. Всего будет 10 · 10 = 100 таких квадратов, поэтому 1 дм² = 100 см².
Точно так же квадрат со стороной 1 м можно разделить на дециметры. На каждой его стороне помещается 10 отрезков по 1 дм, а внутри образуются 10 рядов по 10 квадратов площадью 1 дм². Их всего 100, поэтому 1 м² = 100 дм². Множитель 100 возникает не случайно: единица длины меняется в 10 раз по двум сторонам квадрата.
Для больших площадей применяют ар, гектар и квадратный километр. Один ар равен 100 м², а в гектаре 100 аров, то есть 100 · 100 = 10 000 м². Квадрат со стороной 1 км содержит по 1000 метров на каждой стороне, поэтому его площадь равна 1000 · 1000 = 1 000 000 м². Такие соотношения позволяют перейти от одной единицы к другой.
Единицу выбирают по размеру поверхности, чтобы число было удобным для чтения и вычислений. Маленький предмет можно измерять в квадратных сантиметрах, комнату — в квадратных метрах. Для поля удобны гектары, а для обширной территории — квадратные километры. Слишком мелкая единица даст очень большое число, а слишком крупная может потребовать дробных значений.
| Единица площади | Обозначение | Равна |
|---|---|---|
| Квадратный миллиметр | мм² | 1/100 см² |
| Квадратный сантиметр | см² | 100 мм² |
| Квадратный дециметр | дм² | 100 см² |
| Квадратный метр | м² | 100 дм² |
| Ар | а | 100 м² |
| Гектар | га | 100 а = 10 000 м² |
| Квадратный километр | км² | 1 000 000 м² |
В столбце «Равна» указано, сколько единиц из соседнего меньшего шага содержится в названной единице. Чтобы перевести большую единицу в меньшую, умножай на указанное число; для обратного перевода дели. Перед сложением площадей проверь, что они выражены в одинаковых единицах.
Задача. Выразить 5 дм² в квадратных сантиметрах. Нужно узнать, сколько маленьких квадратов площадью 1 см² составляют пять квадратных дециметров. В одном квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров.
Ответ: 5 дм² = 500 см².
Задача. Выразить 3 м² 25 дм² в квадратных дециметрах. Здесь часть площади уже дана в дм², поэтому переводить нужно только квадратные метры. После перевода можно сложить два значения с одинаковыми единицами.
Ответ: 3 м² 25 дм² = 325 дм².
Задача. Участок имеет площадь 2 га. Выразить её в квадратных метрах и определить, на сколько квадратных метров она больше 15 000 м². Сначала обе площади нужно записать в одинаковых единицах. Затем сравнить значения и найти разность.
Ответ: площадь участка равна 20 000 м²; она больше 15 000 м² на 5 000 м².
При переводе м² в дм² иногда умножают на 10, потому что в одном метре 10 дециметров. Но площадь включает две стороны: на каждой помещается по 10 отрезков, поэтому получается 10 · 10 = 100. Проверь результат разбиением квадрата на ряды и столбцы: в нём должно быть 100 квадратов по 1 дм².
Другая ошибка — записать 1 м² = 100 см², перенеся на площадь соотношение для длины. На каждой стороне квадрата длиной 1 м помещается 100 см, поэтому маленьких квадратов будет 100 · 100 = 10 000. Проверяй, что при переходе от метров сразу к сантиметрам считаются обе стороны, а не одна.
Нельзя складывать числа с разными единицами, например 3 м² и 25 дм² как 3 + 25. Такие числа описывают площади, записанные в разных мерках, поэтому сначала переведи их в одну единицу и только потом складывай. Проверка простая: у всех слагаемых перед вычислением должна стоять одна и та же единица площади.
Ар и гектар могут перепутать из-за похожих названий или неверно записать их соотношение. Запомни: 1 га = 100 а, а один ар равен 100 м²; значит, гектар в сто раз больше ара. Чтобы проверить перевод, замени гектары на ары и затем на квадратные метры: 1 га = 100 · 100 м² = 10 000 м².
Для переводов площадей нужны знакомые единицы длины: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр и километр. Ещё пригодится понимание площади прямоугольника: квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Зная соотношения единиц, проще вычислять площади фигур и решать практические задачи. Эти умения также применяются при работе с масштабом, когда размеры на плане связывают с реальными расстояниями и площадями.
Почему квадратный метр — это не то же самое, что метр?
Метр измеряет длину, а квадратный метр — площадь. Один квадратный метр равен площади квадрата, каждая сторона которого имеет длину 1 м.
Почему при переводе квадратных метров в квадратные дециметры нужно умножать на 100?
В одном метре 10 дециметров, поэтому сторона квадрата длиной 1 м состоит из 10 дм. Таких отрезков по 10 на каждой стороне, значит, внутри помещается 10 · 10 = 100 квадратов площадью 1 дм².
Сколько квадратных сантиметров в одном квадратном метре?
В одном квадратном метре 10 000 см². Ведь 1 м² = 100 дм², а каждый квадратный дециметр содержит 100 см².
Чем ар отличается от гектара?
Ар равен 100 м², а гектар — 10 000 м². В одном гектаре 100 аров.
Какую единицу площади удобнее выбрать для измерения комнаты или поля?
Площадь комнаты обычно выражают в квадратных метрах: эта единица достаточно крупная и удобная для помещений. Для поля подойдут гектары, а для очень больших территорий — квадратные километры.
19. Единицы измерения площадей
