20. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — многогранник, все грани которого являются прямоугольниками. Многогранник — объёмное тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Прямоугольный параллелепипед похож на коробку или кирпич, но его грани могут иметь разные размеры. По этому признаку его отличают от тел с круглыми или треугольными гранями.

Грань — прямоугольник, который ограничивает многогранник и составляет часть его поверхности. У прямоугольного параллелепипеда шесть граней: верхняя, нижняя, передняя, задняя и две боковые. Когда называют грань, обычно перечисляют буквы её вершин. Так удобно точно указать, какую часть тела имеют в виду.

Ребро — сторона грани, по которой встречаются две грани. У прямоугольного параллелепипеда двенадцать рёбер. Рёбра помогают находить границы граней и сравнивать размеры тела. Например, ребро AB обозначает отрезок между вершинами A и B.

Вершина — точка, в которой сходятся рёбра. У прямоугольного параллелепипеда восемь вершин, и обычно каждую обозначают заглавной буквой. Запись ABCDA₁B₁C₁D₁ перечисляет вершины нижнего и верхнего оснований в принятом порядке. Буквенные обозначения помогают находить нужные элементы даже на объёмном чертеже.

Как это устроено

Представьте коробку с прямоугольными сторонами: это удобная модель прямоугольного параллелепипеда. Её поверхность состоит из шести прямоугольников, а внутри находится объёмное пространство. Поэтому тело можно описывать не только длинами отрезков, но и гранями, которые закрывают его с разных сторон. Если развернуть поверхность коробки, прямоугольники окажутся на плоскости, но при складывании снова образуют объёмное тело.

Противоположные грани — пары граней, которые находятся друг напротив друга и не имеют общего ребра. Они параллельны, потому что обращены в одном направлении и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Они равны, поскольку соответствующие стороны каждой пары имеют одинаковую длину. Соседние грани, напротив, встречаются по общей стороне: эта сторона и есть их общее ребро.

Вершины обозначают буквами, чтобы можно было коротко и точно называть элементы. Например, у параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ грань ABCD образована вершинами A, B, C и D, а ребро AB соединяет A и B. Чтобы найти грань, содержащую это ребро, ищите прямоугольники, в перечне вершин которых есть A и B: это ABCD и ABB₁A₁. Такой способ не зависит от того, насколько удачно нарисовано тело.

Из одной вершины выходят три ребра, направленные в разные стороны. Их длины называют тремя измерениями тела: длиной, шириной и высотой; какое именно ребро считать длиной или шириной, зависит от выбранного положения тела. Каждое измерение встречается ещё у параллельных ему рёбер, потому что параллельные рёбра прямоугольного параллелепипеда равны. Поэтому нельзя считать, что длина, ширина и высота — это три особых вида рёбер: это названия трёх размеров.

Развёртка — плоская фигура из граней тела, соединённых сторонами так, чтобы их можно было сложить. У прямоугольного параллелепипеда она состоит из шести прямоугольников. При сгибании по сторонам некоторые прямоугольники становятся соседними, а другие оказываются напротив друг друга. Чтобы проверить развёртку, мысленно поднимайте грани: они должны закрыть все стороны тела и не наложиться одна на другую.

Элементы прямоугольного параллелепипеда

Сначала по таблице удобно проверить, правильно ли вы назвали элементы тела и не перепутали их количество. Затем можно определить, какие рёбра или грани соответствуют друг другу по расположению. Помните: три измерения относятся к длинам рёбер, а не к отдельным граням.

Разбор задач

Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите грань, содержащую ребро AB, и ребро, противоположное AB. Нужно сначала определить, какие грани проходят через ребро, а затем уточнить, что понимается под противоположным ребром. Это помогает не пропустить элементы, которые на объёмном чертеже могут выглядеть по-разному.

1. Найдём грани, в обозначениях которых есть обе вершины A и B. Это ABCD и ABB₁A₁.
2. Если речь о противоположном ребре в грани ABCD, то им будет DC: оно не имеет общих вершин с AB и лежит напротив него.
3. Проверим параллельные ребра: AB также параллельно A₁B₁ и D₁C₁, а все три таких ребра равны AB.

Ответ: ребро AB принадлежит граням ABCD и ABB₁A₁; противоположное ему ребро в грани ABCD — DC. Всего параллельны AB рёбра DC, A₁B₁ и D₁C₁. Уточнение нужно потому, что в пространстве можно назвать несколько рёбер, параллельных AB.

Задача 2. Три ребра, выходящие из одной вершины, равны 4 см, 3 см и 2 см. Укажите длины рёбер, параллельных каждому из них. Важно не искать новые числа: рёбра, параллельные заданному, имеют такую же длину. У каждого из трёх измерений есть четыре ребра, направленных одинаково.

1. Отметим ребро длиной 4 см. Три параллельных ему ребра тоже имеют длину 4 см.
2. Для ребра длиной 3 см повторим рассуждение: каждое из трёх параллельных рёбер равно 3 см.
3. Ребру длиной 2 см соответствуют ещё три параллельных ребра длиной 2 см.

Ответ: для каждого измерения есть ещё три параллельных ребра: длиной 4 см, 3 см и 2 см соответственно. Вместе с исходным ребром каждого направления получается по четыре равных ребра. Их длины не складывают: нужно назвать длину каждого параллельного ребра.

Задача 3. Прямоугольный лист разделён на шесть прямоугольников и задан как развёртка коробки. Определите, какие прямоугольники станут противоположными гранями после складывания. Чтобы ответить, нужно знать, как именно расположены прямоугольники на листе: без схемы нельзя назвать конкретные части листа. Но можно определить пары, мысленно складывая развёртку.

1. Выберите один прямоугольник и представьте, что он стал нижней гранью коробки.
2. Согните по его сторонам соседние прямоугольники вверх. Они станут боковыми гранями, а не противоположными нижней.
3. Продолжайте мысленно сгибать оставшиеся части, пока они не закроют коробку. Грани, оказавшиеся напротив и не имеющие общего ребра, составляют противоположную пару.

Ответ: противоположными станут прямоугольники, которые после складывания окажутся напротив друг друга и не будут иметь общего ребра. Назвать их точнее можно только по расположению на конкретной развёртке. При проверке также убедитесь, что размеры противоположных прямоугольников совпадают.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что грань обязательно должна быть прямоугольником, отличным от квадрата, или что вместо прямоугольника может быть произвольная фигура. Так думают, потому что квадрат часто рассматривают отдельно от прямоугольников. Но квадрат тоже является прямоугольником, поэтому квадратные грани возможны, а треугольные или круглые — нет. Проверка простая: у каждой грани должны быть четыре прямых угла.

Ошибка: путать грань и ребро, называя ребром всю плоскую сторону коробки. Это происходит, когда не различают поверхность и её границу. Грань — плоская часть поверхности, а ребро — отрезок, где встречаются две грани. Проверьте себя: если вы называете прямоугольную область — это грань, если её сторону — ребро.

Ошибка: считать длину, ширину и высоту тремя разными видами рёбер, которые встречаются только по одному разу. Названия измерений могут создать такое впечатление, хотя каждое измерение повторяется у параллельных рёбер. Сравните направления: рёбра, параллельные ребру длиной 4 см, тоже имеют длину 4 см. Значит, перед вами три размера тела, а не три уникальных ребра.

Ошибка: называть противоположными грани, которые соприкасаются стороной. Их путают, потому что такие грани хорошо видны рядом на чертеже. Если у двух граней есть общее ребро, они соседние, а не противоположные. Проверьте, что у противоположных граней нет общей стороны и что они расположены параллельно друг другу.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольного параллелепипеда нужно знать прямоугольник, его стороны, а также свойства параллельных и равных сторон. Здесь свойства плоских фигур применяются к граням объёмного тела. Понятия грани, ребра и вершины пригодятся при изучении других многогранников и развёрток. Прямоугольные параллелепипеды встречаются в задачах о коробках, комнатах и предметах, а их измерения используют далее при нахождении объёма и площади поверхности.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда шесть граней.
• Все его грани — прямоугольники.
• У него двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Противоположные грани равны и параллельны.
• Параллельные рёбра равны.
• Длина, ширина и высота — три измерения тела.