"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Чтобы измерить его, тело мысленно заполняют одинаковыми кубами и считают их количество: поэтому единицы объёма называют кубическими. У прямоугольного параллелепипеда есть длина, ширина и высота. Если перемножить эти три измерения, получится объём тела. Знание формулы помогает узнать вместимость коробки или аквариума и решать задачи о других телах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём — величина, которая показывает, сколько места занимает тело. Например, объём коробки помогает понять, сколько предметов в неё поместится. Чтобы сравнивать объёмы, удобно узнавать, сколько одинаковых кубов может поместиться внутри каждого тела.
Единица объёма — куб, ребро которого равно единице длины. Такие единицы называют кубическими, потому что измерительное тело имеет форму куба. Кубический сантиметр, кубический дециметр и кубический метр — объёмы кубов с рёбрами 1 см, 1 дм и 1 м соответственно.
Прямоугольный параллелепипед — тело, у которого шесть граней, и каждая грань является прямоугольником. Его три измерения называют длиной, шириной и высотой; обычно их обозначают буквами a, b и c. Эти измерения нужны, чтобы вычислить, сколько места занимает всё тело.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см. Его записывают 1 см³: маленькая цифра 3 означает, что сантиметр используется трижды, для длины, ширины и высоты. В кубическом дециметре содержится 1000 кубических сантиметров, потому что каждое ребро дециметрового куба в десять раз длиннее сантиметрового.
Чтобы сравнить объёмы двух тел, их можно заполнять одинаковыми единичными кубами. Если кубы подходят по размеру и укладываются плотно, достаточно посчитать, сколько их помещается в каждом теле: где кубов больше, там и объём больше. На практике тело не всегда можно разобрать или заполнить кубиками, но мысленно такой способ помогает понять смысл измерения.
Почему единицы объёма кубические? Одного измерения недостаточно: тело имеет длину, ширину и высоту. Если все три измерения единичного куба равны 1 см, его объём составляет 1 см · 1 см · 1 см, то есть 1 см³. Так появляется третья степень единицы длины, а не квадратная единица, которой измеряют площадь.
Сантиметр, дециметр и метр отличаются в десять раз: 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм. Но в объёме это изменение действует сразу в трёх направлениях. Например, дециметровый куб содержит 10 слоёв сантиметровых кубиков, в каждом слое их 10 × 10. Поэтому 1 дм³ = 10 × 10 × 10 = 1000 см³; так же 1 м³ = 1000 дм³.
Прямоугольный параллелепипед удобно вообразить составленным из одинаковых кубиков и разделённым на слои. В одном слое кубики занимают ряды по длине и ширине, а число слоёв определяется высотой. Если известен размер каждого ребра единичного кубика, сначала считают кубики в слое, затем умножают результат на число слоёв.
Пусть длина, ширина и высота тела равны a, b и c единичным отрезкам. Тогда в одном слое находится a · b кубиков, а слоёв — c, значит, всего a · b · c кубиков. Отсюда формула V = a · b · c. У куба все измерения равны a, поэтому его объём — a · a · a, или V = a³.
| Что рассматриваем | Как определить или вычислить | Единица или результат |
|---|---|---|
| Объём тела | Посчитать, сколько одинаковых единичных кубов помещается внутри | Кубические единицы |
| Кубический сантиметр | Найти объём куба с ребром 1 см | 1 см³ |
| Кубический дециметр и кубический метр | Рассмотреть кубы с рёбрами 1 дм и 1 м | дм³ и м³ |
| Переход между кубическими единицами | При переходе на соседнюю меньшую единицу умножить на 1000 | 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³ |
| Объём прямоугольного параллелепипеда | Перемножить длину, ширину и высоту | V = a · b · c |
| Объём куба | Возвести длину ребра в третью степень | V = a³ |
В таблице можно быстро найти правило для конкретной задачи: определить объём, выбрать единицы или перевести результат. Перед вычислением проверь, в каких единицах заданы измерения. Результат записывай кубическими единицами.
Задача 1. В коробке помещается 24 одинаковых кубика объёмом 1 см³ каждый. Каков объём коробки, если она полностью заполнена? Здесь удобно считать кубики единицами измерения: раз коробка заполнена целиком, пустого места не остаётся, а объём каждого кубика известен.
Ответ: 24 см³.
Задача 2. Найти объём прямоугольного параллелепипеда длиной 8 см, шириной 5 см и высотой 3 см. Все три измерения даны в сантиметрах, поэтому сначала переводить единицы не нужно. Используем формулу V = a · b · c: она учитывает количество кубиков вдоль каждого измерения.
Ответ: 120 см³.
Задача 3. Аквариум имеет длину 6 дм, ширину 4 дм и высоту 5 дм. Найти его объём в кубических сантиметрах. Сначала вычислим объём в кубических дециметрах, потому что все измерения даны в дециметрах. Затем переведём готовый объём в см³.
Ответ: 120 000 см³.
Иногда объём записывают в квадратных единицах, например см². Так измеряют площадь, а не объём: площадь относится к плоской поверхности, у тела же есть ещё высота. Ошибку часто допускают, потому что путают слова «площадь» и «объём». Проверь себя: если измерял длину, ширину и высоту, ответ должен быть в кубических единицах.
При переводе дм³ в см³ ошибочно умножают на 10, как при переводе дм в см. Но у объёма три измерения, поэтому нужно учитывать 10 · 10 · 10 = 1000. Чтобы проверить перевод, представь дециметровый куб разделённым на сантиметровые: внутри будет тысяча маленьких кубов.
Можно забыть одно из измерений или сложить длину, ширину и высоту. Такое случается, если не представить слои из кубиков: длина и ширина задают число кубов в слое, а высота — число слоёв. Запиши формулу V = a · b · c и сверь, что подставил три числа и перемножил их, а не сложил.
Ещё одна ошибка — указать в ответе см, а не см³. Сантиметр — единица длины, он не показывает объём тела. Ошибка часто появляется, когда единицу измерения забывают после вычислений. Перед ответом проверь условие и добавь кубическую единицу, соответствующую исходным измерениям.
Для вычисления объёма полезно уметь находить площадь прямоугольника: она помогает понять, сколько единичных кубиков расположено в одном слое. Также понадобятся навыки умножения натуральных чисел, чтобы посчитать кубики во всех слоях. Знание соотношений единиц длины помогает выбрать подходящую единицу объёма и переводить результаты между см³, дм³ и м³.
Эти умения пригодятся в практических задачах о вместимости коробок и аквариумов. Формула прямоугольного параллелепипеда служит опорой для дальнейшего изучения объёмов других тел: сначала важно понять, как объём связан с единичными кубами и измерениями тела.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Единицей объёма служит куб с ребром, равным единице длины. Например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³. Кубы удобно укладывать внутри тела и считать.
Чем объём отличается от площади?
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура, а объём — сколько места занимает тело. Поэтому площадь измеряют квадратными единицами, а объём — кубическими.
Почему при переходе от дм³ к см³ нужно умножать на 1000?
В одном дециметре 10 сантиметров, поэтому в кубе с ребром 1 дм помещается 10 слоёв кубиков с ребром 1 см. В каждом слое 10 × 10 таких кубиков, всего 10 × 10 × 10 = 1000. Значит, 1 дм³ = 1000 см³.
Почему объём параллелепипеда находят умножением трёх измерений?
В одном слое помещается столько единичных кубов, сколько составляет длина, умноженная на ширину. Число слоёв задаёт высота. Поэтому общее число кубов равно произведению длины, ширины и высоты.
Как найти объём куба?
У куба все три измерения равны длине его ребра a. Подставь это значение в формулу объёма: V = a · a · a = a³. Например, если ребро равно 2 см, объём равен 8 см³.
21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
