"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Объём показывает, сколько места занимает тело. Его можно сравнивать и измерять, заполняя тело одинаковыми кубиками без промежутков. Для прямоугольного параллелепипеда удобно считать кубики по слоям: число кубов в одном слое умножают на число слоёв. Поэтому объём находят по формуле V = a · b · c, где a, b и c — длина, ширина и высота. Результат записывают в кубических единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько места занимает тело. Например, коробка занимает больше места, если в неё помещается больше одинаковых кубиков. Объёмы тел можно сравнивать и измерять, а не только описывать словами.
Единичный куб — куб, который приняли за меру объёма. Если заполнить тело такими кубами без промежутков и наложений, их число покажет объём тела в выбранной мере. Эта идея помогает понять, что именно мы считаем, когда измеряем объём.
Кубическая единица — единица объёма, равная объёму куба с ребром в одну единицу длины. Например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³, то есть один кубический сантиметр. Название единицы напоминает, что измеряется объём куба, а не длина или площадь.
Объём прямоугольного параллелепипеда — число, равное произведению его длины, ширины и высоты. Если рёбра обозначить a, b и c, то объём записывают так: V = a · b · c. По этой формуле можно найти, сколько места занимает фигура, не пересчитывая каждый кубик по одному.
Чтобы сравнить объёмы тел, мысленно заполняют их одинаковыми единичными кубами. Кубики должны лежать плотно: промежутки оставили бы незаполненное место, а наложение означало бы, что одно и то же место посчитали дважды. Если для одного тела понадобилось больше кубиков, его объём больше. Для честного сравнения в обоих случаях берут кубики одинакового размера.
Прямоугольный параллелепипед удобно заполнять кубиками слоями, потому что его грани и рёбра расположены ровно. Сначала считают кубики в нижнем слое, а затем выясняют, сколько таких же слоёв помещается по высоте. Все слои одинаковы, поэтому достаточно узнать число кубиков в одном и умножить его на число слоёв. Так не приходится пересчитывать кубики по одному.
Пусть вдоль длины помещается a кубиков, а вдоль ширины — b кубиков. Тогда в одном слое будет a · b кубиков: к каждому ряду из a кубиков добавляется ещё столько же рядов, сколько показывает ширина. Если по высоте помещается c слоёв, всего получится (a · b) · c кубиков. Поэтому V = a · b · c; каждое из трёх измерений отвечает за один из трёх направлений.
Объём выражают в кубических единицах, потому что единичная мера объёма — это куб, а не отрезок или квадрат. Куб со стороной 1 см имеет объём 1 см³, а куб со стороной 1 м — 1 м³. Единица объёма связана с единицей длины: сантиметрам соответствуют кубические сантиметры, метрам — кубические метры. При умножении трёх длин получается именно кубическая единица.
Если объём и два ребра известны, неизвестное ребро находят обратным действием. Например, из равенства V = a · b · c следует c = V : (a · b), потому что деление отменяет умножение на a и b. Сначала перемножают два известных ребра, затем делят на полученное число объём. Найденное ребро можно проверить: умножить его на известные рёбра и убедиться, что снова получается заданный объём.
В таблице собраны обозначения, формулы и единицы, нужные для вычисления. Перед решением задачи найди строку с тем, что требуется узнать: сам объём или неизвестное ребро. Затем проверь единицы измерения рёбер и запиши результат в подходящей кубической единице.
| Что рассматриваем | Обозначение или правило | Единицы |
|---|---|---|
| Длина, ширина и высота | a, b и c — три ребра параллелепипеда | Одинаковые единицы длины |
| Формула объёма | V = a · b · c | Кубические единицы |
| Единицы объёма | Объём куба с ребром в одну единицу длины | см³, м³ и другие |
| Нахождение неизвестного ребра | Например, c = V : (a · b) | Единица длины |
Задача 1. Прямоугольный параллелепипед составлен из единичных кубов: в одном слое 12 кубов, а слоёв 3. Найдите его объём. Здесь число кубов в слое уже известно, поэтому сначала не нужно отдельно считать длину и ширину. Умножим число кубов в слое на число одинаковых слоёв.
Ответ: 36 кубических единиц. Проверить рассуждение можно сложением трёх одинаковых слоёв: 12 + 12 + 12 = 36. Умножение здесь короче, потому что число кубов в каждом слое одно и то же.
Задача 2. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8 см, ширина — 5 см, высота — 3 см. Найдите объём. Все три измерения даны в сантиметрах, значит, их можно сразу подставить в формулу. Умножение можно выполнить по порядку: сначала перемножить два ребра, затем результат — на третье.
Ответ: 120 см³. Полученное число показывает, сколько кубиков размером 1 см³ можно уложить в параллелепипеде. Не забывай указывать кубическую единицу вместе с числом.
Задача 3. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 180 см³, а два его ребра — 9 см и 4 см. Найдите третье ребро. Обозначим неизвестное ребро буквой c, а известные — a = 9 см и b = 4 см. Так как объём равен произведению трёх рёбер, нужно разделить его на произведение известных рёбер.
Ответ: третье ребро равно 5 см. При делении единицы тоже подтверждают результат: см³ : см² = см. Проверка подстановкой показывает, что с этим ребром исходная формула даёт заданный объём.
Запись в квадратных единицах. Иногда объём указывают в см², потому что путают его с площадью. Площадь измеряют квадратными единицами, а объём — кубическими, ведь он связан с заполнением пространства кубиками. Проверь ответ: после перемножения трёх длин должна получиться единица вроде см³, а не см².
Перемножение только двух рёбер. Так находят площадь прямоугольной грани, а не объём всего параллелепипеда. Ошибку допускают, когда забывают учесть высоту, то есть количество слоёв. Проверь себя: в формуле объёма должны участвовать три измерения.
Сложение длины, ширины и высоты. Сумма трёх рёбер не показывает, сколько кубиков помещается внутри тела. Число кубиков зависит от того, сколько их стоит в каждом ряду, рядов в слое и слоёв по высоте, поэтому измерения перемножают. Для проверки вспомни формулу V = a · b · c, а не a + b + c.
Измерения в разных единицах. Например, нельзя без подготовки перемножать сантиметры и метры, если результат нужен в см³. Такая ошибка приводит к неверному числу и запутывает единицу ответа. До вычислений переведи все рёбра в одну единицу длины, а затем проверь, что объём записан в соответствующих кубических единицах.
Для вычислений нужны знания единиц длины, умение измерять рёбра и умножать натуральные числа. Также важно представлять прямоугольный параллелепипед и понимать, как он раскладывается на равные слои. Если мысленно считать кубики в слоях пока трудно, начни с небольшого тела и проверь подсчёт по каждому направлению. Понятие объёма и кубические единицы пригодятся в задачах о вместимости и при изучении других геометрических тел.
Что показывает объём тела?
Объём показывает, сколько места занимает тело. Его можно представить как число одинаковых кубиков, которыми тело заполнено без промежутков и наложений.
Почему объём прямоугольного параллелепипеда находят умножением трёх рёбер?
В одном слое помещается столько кубиков, сколько получается при умножении числа кубиков вдоль двух рёбер. Слоёв столько, сколько кубиков укладывается вдоль третьего ребра, поэтому нужно умножить три числа.
В каких единицах измеряют объём?
Объём измеряют в кубических единицах: например, в кубических сантиметрах (см³) или кубических метрах (м³). Такая единица соответствует объёму куба с ребром в одну единицу длины.
Как найти неизвестное ребро, если известны объём и два других ребра?
Раздели объём на произведение двух известных рёбер. Например, если неизвестно ребро c, то c = V : (a · b).
Почему перед вычислением объёма нужно привести рёбра к одинаковым единицам?
В формуле все измерения должны быть выражены в одной единице длины. Иначе перемножаются несопоставимые числа, и единица результата будет определена неверно.
21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
