§ 5. Обыкновенные дроби

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, показывающая, сколько равных долей рассматривают. Буквы a и b здесь обозначают числа, а черта разделяет их. Такая запись нужна, когда целое рассматривают не целиком, а по частям, например при записи части пирога или отрезка.

Знаменатель дроби — число под чертой; он показывает, на сколько равных частей разделили целое. Например, в дроби 4/7 знаменатель равен 7. По нему можно понять, какого размера одна доля: чем на большее число равных частей разделили целое, тем мельче каждая доля.

Числитель дроби — число над чертой; он показывает, сколько таких частей взяли. В дроби 4/7 числитель равен 4, то есть рассматривают четыре доли из семи. Это число помогает указать количество выбранных частей, а не число всех частей целого.

Дробная черта — горизонтальная черта, отделяющая числитель от знаменателя и обозначающая деление. Она показывает, что верхнее число делят на нижнее: например, 4/7 означает четыре, разделённое на семь. Поэтому черта не просто украшает запись, а связывает два числа в одну дробь.

Как это устроено

Чтобы записать несколько равных частей целого, сначала указывают, на сколько частей целое разделено, а затем — сколько частей взято. Число всех частей ставят снизу, потому что оно задаёт размер одной доли. Число выбранных частей записывают сверху: так сразу видно, сколько таких долей рассматривают. Например, если из восьми равных долей взяли три, получится 3/8.

Части должны быть равными, иначе запись дробью не будет точно описывать выбранную часть. Представь, что полоску поделили на кусочки разной длины: один кусочек тогда больше другого, хотя каждый считается одной частью. Нельзя просто посчитать такие кусочки как одинаковые доли. Равенство частей позволяет честно сравнивать их количество и обозначать дробью.

Дробь читают так: сначала называют числитель, затем знаменатель в форме названия долей. Например, 3/5 — «три пятых», а не «три пять»: слово «пятых» напоминает, что целое поделено на пять равных частей. Название долей зависит от знаменателя. Поэтому при чтении нужно смотреть и на верхнее, и на нижнее число.

Чтобы показать дробь на рисунке, сначала раздели целую фигуру на равные части, а затем выдели столько частей, сколько показывает числитель. Например, для 2/6 круг делят на шесть одинаковых секторов и закрашивают два. Число всех секторов проверяет знаменатель, а число закрашенных — числитель. Если разделить круг иначе, так, что сектора будут разными, рисунок не передаст смысл дроби.

Долю величины можно записать дробью, даже если перед нами не фигура, а отрезок. Если отрезок разделили на 7 равных частей и взяли 4, знаменатель будет 7, а числитель — 4, значит, получаем 4/7 отрезка. Сначала важно выяснить, на сколько частей поделили всю величину, и только после этого считать выбранные части. Такой порядок помогает не перепутать числа в записи.

Как устроена обыкновенная дробь

Таблица показывает, где искать каждый элемент дроби и какую работу он выполняет. Для примера возьмём запись 4/7: верхнее число — числитель, нижнее — знаменатель, а между ними находится дробная черта. Пользуйся таблицей, когда составляешь дробь по рисунку или объясняешь уже готовую запись.

Разбор задач

Круг разделили на 6 равных частей, 2 части закрасили. Запишите закрашенную часть дробью.

1. Сначала считаем все части круга: их 6. Это число будет знаменателем, потому что целое разделили именно на шесть долей.
2. Теперь считаем закрашенные части: их 2. Это числитель, поскольку он показывает, сколько долей взяли.
3. Ставим 2 над дробной чертой, а 6 под ней. Получаем дробь 2/6.

Ответ: 2/6 круга. Проверка: в рисунке должно быть всего шесть одинаковых частей, из которых закрашены ровно две.

Запишите дробью часть отрезка, если его разделили на 9 равных частей и взяли 5 частей. Прочитайте полученную дробь.

1. Отрезок разделили на 9 равных частей, поэтому записываем 9 в знаменатель. Он отвечает за все доли, на которые разделили целое.
2. Взяли 5 частей, значит, 5 ставим в числитель. Это число выбранных долей, а не число частей всего отрезка.
3. Записываем дробь 5/9 и читаем её, называя сначала числитель, затем доли по знаменателю.

Ответ: 5/9, «пять девятых». Если изобразить отрезок, он должен состоять из девяти одинаковых промежутков, пять из которых можно выделить.

В записи дроби 3/8 объясните, что означают числа 3 и 8, и изобразите эту дробь на полоске.

1. Число 8 стоит под чертой, поэтому полоску нужно разделить на восемь равных частей. Эти части должны быть одинаковой длины.
2. Число 3 стоит над чертой и показывает, сколько частей выделить. Закрашиваем три из восьми получившихся отрезков.
3. Проверяем модель: всего частей должно быть восемь, а закрашенных — три. Если закрасить восемь или разделить полоску на другое число частей, рисунок не будет соответствовать записи.

Ответ: 3 означает три взятые доли, 8 — восемь равных долей в целом; на полоске из восьми одинаковых частей нужно выделить три.

Типичные ошибки

Иногда числитель и знаменатель меняют местами: записывают число всех частей сверху, а число взятых — снизу. Так происходит, если запомнить только внешний вид дроби, не связывая его с рисунком. Чтобы проверить себя, спроси: «На сколько частей разделили целое?» — ответ должен оказаться под чертой. «Сколько частей взяли?» — это число над чертой.

Другая ошибка — делить целое на неравные части. Это может случиться, когда при рисовании не проверяют длину или площадь каждого кусочка. Такие части нельзя считать одинаковыми долями: одна может быть больше другой. Проверь модель линейкой или сравни части на глаз; все они должны совпадать по величине.

Можно перепутать общее число долей и число закрашенных: считать закрашенные части знаменателем, а все части — числителем. Обычно это происходит, если смотреть только на выделенную часть и не задать себе вопрос, что именно требуется посчитать. Пересчитай отдельно все части и отдельно закрашенные. В дроби первое число окажется под чертой, второе — над ней.

Дробь иногда читают, называя знаменатель как обычное количественное число, например «три пять». Так забывают, что знаменатель сообщает не просто число, а название долей. При чтении назови сначала числитель, затем подходящую форму: 3/5 — «три пятых». Самопроверка простая: слово после числителя должно подсказать, на сколько частей разделили целое.

Связь с другими темами

Перед изучением дробей полезно уметь делить предметы и отрезки на равные части и пересчитывать получившиеся доли. Эти умения помогают увидеть, откуда в дроби берутся числитель и знаменатель. Если рисунок разделён неверно или части неравны, записать его одной дробью правильно не получится.

Обыкновенные дроби становятся основой для следующих тем: правильных и неправильных дробей, смешанных чисел и действий с дробями. В них нужно будет узнавать те же числитель и знаменатель, а затем использовать дробную запись для сравнения или вычислений. Поэтому понимание смысла равных долей пригодится не только при чтении дробей.

Что запомнить

• Дробь записывают числителем над знаменателем.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель показывает, сколько равных частей взяли.
• Доли, о которых говорит дробь, должны быть равными.
• Дробная черта обозначает деление числителя на знаменатель.
• Дробь можно представить рисунком с равными частями.