Обыкновенные дроби

Определения и обозначения

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, показывающая, сколько равных долей целого взято. Например, 3/7 означает три доли из семи равных долей. Такая запись нужна, когда целое разделили на части и взяли не всё целое.

Знаменатель — число под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое. По знаменателю определяют размер одной доли: чем больше равных частей, тем меньше каждая часть.

Числитель — число над дробной чертой. Он показывает, сколько долей, указанных знаменателем, взяли. Поэтому числитель помогает узнать общее количество использованных частей.

Дробная черта — знак, который отделяет числитель от знаменателя и означает деление. Запись 3/7 можно прочитать как «три, делённое на семь». Она связывает оба числа в одно значение дроби.

Как это устроено

Представим яблоко, отрезок или любую другую целую величину. Если разделить её на четыре равные части, каждая часть будет одной четвертью, то есть 1/4. Если взять три такие части, получится 3/4: знаменатель 4 сообщает об общем числе равных частей, а числитель 3 — о взятых частях.

Дробь читают так: сначала называют числитель, затем знаменатель в специальной форме. Например, 1/2 — «одна вторая», 3/5 — «три пятых», 7/8 — «семь восьмых». Если числитель больше единицы, название знаменателя обычно ставят во множественном числе, потому что речь идёт о нескольких одинаковых долях.

Чтобы изобразить дробь на рисунке, сначала принимают отрезок или фигуру за одно целое. Затем делят целое на число равных частей, которое стоит в знаменателе, и отмечают или закрашивают число частей, указанное числителем. Например, для 3/5 отрезок делят на пять одинаковых частей и выделяют три из них; неравные части дали бы доли разного размера и исказили бы смысл дроби.

Правильная дробь имеет числитель меньше знаменателя. Она показывает, что взяли только часть целого, поэтому меньше единицы: 3/8 < 1. Неправильная дробь имеет числитель, равный знаменателю или больший него. При равных числителе и знаменателе взяли всё целое, а при большем числителе взяли целое или больше: 8/8 = 1, 11/8 > 1.

Дроби с одинаковыми знаменателями состоят из долей одного размера. Например, и 3/8, и 5/8 описывают восьмые доли, поэтому одна такая доля в обеих дробях одинакова. Различается только количество взятых долей: пять долей больше, чем три, значит, 5/8 > 3/8.

Виды обыкновенных дробей

В таблице сначала сравните числитель со знаменателем, а затем определите вид дроби. Последний столбец помогает связать запись с её смыслом и размером относительно единицы.

Разбор задач

Записать дробью три доли из семи равных долей целого и назвать числитель и знаменатель

Нужно понять, какое число обозначает все равные доли, а какое — выбранные доли. Общее число частей записывают под дробной чертой, а взятое число частей — над ней. Поэтому нельзя начинать с расположения чисел наугад.

1. Всего равных долей семь, значит, знаменатель равен 7.
2. Взяли три доли, значит, числитель равен 3.
3. Записываем дробь: 3/7.

Ответ: 3/7; числитель — 3, знаменатель — 7.

Изобразить дробь 3/5 на отрезке, принятом за целое

Отрезок считается одним целым, поэтому его нужно разделить на равные части. Знаменатель показывает количество частей, а числитель — сколько из них следует отметить. Сначала выполняем деление, затем выделяем нужные доли.

1. Делим отрезок на пять равных частей, потому что знаменатель равен 5.
2. Считаем части от одного конца отрезка.
3. Выделяем первые три части, потому что числитель равен 3.

Ответ: на отрезке отмечены три из пяти равных частей, то есть 3/5.

Сравнить дроби 3/8 и 5/8 и объяснить ответ с помощью рисунка

У дробей одинаковые знаменатели, значит, в обоих случаях доли имеют размер одной восьмой. На двух одинаковых отрезках можно провести деления на восемь равных частей и выделить сначала три, а затем пять частей. На втором отрезке выделенная часть окажется длиннее.

1. Сравниваем знаменатели: 8 и 8 равны, поэтому размеры долей одинаковы.
2. Сравниваем числители: 3 меньше 5.
3. Записываем результат: 3/8 < 5/8.

Ответ: 3/8 меньше 5/8, потому что три одинаковые доли меньше пяти таких долей.

Типичные ошибки

Числитель и знаменатель иногда меняют местами. Так происходит, если запоминают только положение чисел, но не их смысл. Проверьте себя вопросами: «На сколько частей разделили целое?» — ответ должен быть в знаменателе, «Сколько взяли?» — в числителе.

Некоторые делят целое на неравные части. Ошибка появляется, когда части рисуют примерно одинаковыми, не проверяя их длину. Убедитесь, что все доли имеют одинаковый размер: только тогда дробь описывает доли одного целого.

Неправильную дробь иногда считают ошибочной записью. Её числитель может быть равен знаменателю или больше него, например 6/6 или 8/6. Сравните числитель со знаменателем: если первый не меньше второго, дробь неправильная, но записана верно.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями некоторые сравнивают знаменатели. Они уже равны и только показывают одинаковый размер долей. Сравнивайте числители: больше та дробь, в которой взято больше одинаковых частей.

Связь с другими темами

До изучения дробей нужно уметь делить предмет или отрезок на равные части и считать получившиеся части. Эти умения помогают правильно понимать числитель и знаменатель, а также изображать дробь.

Понимание обыкновенных дробей понадобится при их сравнении и выполнении действий с ними. Если уверенно различать долю, числитель и знаменатель, следующие правила будет легче объяснить и применять.

Что запомнить

• Знаменатель записывают под дробной чертой.
• Числитель записывают над дробной чертой.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько равных частей взято.
• Правильная дробь меньше единицы.
• Неправильная дробь не меньше единицы.
• Для сравнения дробей с одинаковыми знаменателями сравнивают числители.