"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Окружность — замкнутая линия, точки которой одинаково удалены от центра, а круг — вся область внутри этой линии вместе с границей. С помощью циркуля окружность можно построить с заданным радиусом. Радиус соединяет центр с окружностью, хорда — две точки окружности, а диаметр проходит через центр. Поэтому диаметр состоит из двух радиусов и вдвое длиннее каждого из них. Эти понятия помогают строить и изучать геометрические фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эту точку называют центром. Проще говоря, окружность — это граница круглой фигуры, а центр задаёт её положение. Это определение помогает отличить окружность от других замкнутых линий и понять, как её построить.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Если представить нарисованную окружность, то кругом будет и сама линия, и всё место внутри неё. Это понятие нужно, когда речь идёт не только о границе, но и о всей заполненной области.
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой; радиусом также называют его длину. Например, можно провести от центра отрезок до края круга: он будет радиусом. Это понятие помогает измерить окружность и находить длину её диаметра.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; хорда, проходящая через центр, называется диаметром. Значит, у хорды оба конца лежат на окружности, но сам отрезок может идти в стороне от центра. Диаметр нужен, чтобы находить расстояние от одного края окружности до другого через центр.
Чтобы построить окружность циркулем, сначала выбирают точку для центра и ставят туда острую ножку. Вторую ножку раскрывают на нужное расстояние: оно станет радиусом. Затем, не меняя расстояние между ножками, поворачивают циркуль вокруг центра. Расстояние сохраняется, поэтому каждая проведённая точка удалена от центра одинаково и получается окружность.
Все радиусы одной окружности равны, потому что каждый соединяет один и тот же центр с точкой на окружности. По определению окружности расстояние от центра до любой её точки одинаково. Поэтому, куда бы ни был проведён радиус, его длина не изменится. Это позволяет узнать длину одного радиуса по другому, даже если на чертеже они направлены по-разному.
Окружность и круг связаны, но обозначают не одно и то же. На рисунке окружность можно увидеть как линию-границу, а круг — как всю область, которую эта линия окружает, включая саму границу. Если отметить точку на линии, она принадлежит окружности и кругу. Точка внутри линии принадлежит кругу, но не окружности, потому что она не лежит на границе.
Диаметр — особая хорда: она проходит через центр, а её концы находятся на окружности. Центр делит диаметр на два отрезка, каждый из которых является радиусом. Эти радиусы равны, поэтому длина диаметра вдвое больше длины радиуса: d = 2r. Например, если радиус равен 4 см, то диаметр равен 8 см.
На чертеже центр обычно обозначают заглавной буквой, например O, а точки окружности — другими буквами. Отрезок от O до точки A на окружности обозначают OA; это радиус. Если отрезок AB соединяет две точки окружности и проходит через O, это диаметр, а если не проходит — просто хорда. Сначала найди концы отрезка и проверь, где они расположены, а затем посмотри, пересекает ли отрезок центр.
| Понятие | Что обозначает | Как распознать на рисунке | Связь с радиусом |
|---|---|---|---|
| Окружность | Замкнутую линию, равноудалённую от центра | Граница круглой фигуры | Все её точки находятся от центра на расстоянии радиуса |
| Круг | Область внутри окружности вместе с границей | Внутренняя часть и ограничивающая её линия | Радиус соединяет центр с границей круга |
| Радиус | Отрезок от центра до окружности и его длину | Один конец в центре, другой на окружности | Основной отрезок; все радиусы одной окружности равны |
| Хорда | Отрезок между двумя точками окружности | Оба конца лежат на окружности | Если хорда проходит через центр, она состоит из двух радиусов |
| Диаметр | Хорду, проходящую через центр | Оба конца на окружности, отрезок проходит через центр | Равен двум радиусам |
Пользуйся таблицей, проверяя сначала положение концов отрезка, а затем — проходит ли он через центр. Так можно отличить радиус от хорды и диаметра. Чтобы найти диаметр, удвой радиус; чтобы найти радиус, раздели диаметр пополам.
Задача 1. Отметь на рисунке центр окружности, два радиуса и одну хорду. Укажи, какие точки принадлежат окружности, а какие — кругу. На рисунке могут быть обозначены точки буквами, поэтому сначала нужно определить, какие из них стоят на линии, а какие — внутри неё. Затем по концам отрезков распознают нужные элементы.
Ответ. Центр отмечен в середине окружности; радиусы идут от него к двум точкам границы, хорда соединяет две точки границы. Точки на границе принадлежат окружности и кругу, а внутренние точки — только кругу. Если выбранная хорда проходит через центр, её нужно назвать диаметром.
Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найди длину диаметра. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому нужно сложить две одинаковые длины. Это можно записать умножением радиуса на 2.
Ответ. Диаметр равен 8 см. Проверка: половина диаметра составляет 4 см, то есть равна данному радиусу. Значит, результат соответствует устройству диаметра.
Задача 3. Диаметр окружности равен 13 см. Найди радиус и объясни, почему любая хорда этой окружности не может быть длиннее диаметра. Сначала нужно связать диаметр и радиус, а затем вспомнить, что диаметр — самая длинная хорда. Он проходит через центр и охватывает расстояние между двумя противоположными точками окружности.
Ответ. Радиус равен 6,5 см. Ни одна хорда не может быть длиннее 13 см, потому что диаметр является самой длинной хордой этой окружности.
Путают окружность и круг. Ошибка возникает, когда словом «окружность» называют и линию, и область внутри неё. Проверь себя: окружность — только граница, а круг включает и границу, и внутреннюю часть. Точка внутри круга не лежит на окружности.
Считают радиусом только отрезок, но не его длину. Радиусом называют и геометрический отрезок, и расстояние от центра до окружности. Когда говорят «радиус равен 4 см», имеется в виду именно длина. Проверяй единицы: сантиметры указывают на величину, а не на сам отрезок.
Принимают за диаметр любую хорду. Хорда соединяет две точки окружности, но может проходить в стороне от центра. Диаметром становится только хорда, которая проходит через центр. Для проверки найди середину отрезка: если центр окружности не лежит на нём, это не диаметр.
Считают, что диаметр равен радиусу. Так бывает, если забывают, что диаметр состоит из двух частей по обе стороны от центра. Каждая часть — радиус, поэтому диаметр вдвое длиннее радиуса. Проверь вычисление обратным действием: половина диаметра должна равняться радиусу.
Чтобы изучать окружность, нужно уметь распознавать отрезок, его концы и середину, а также измерять длину отрезка. Эти навыки помогают находить центр, отличать радиус от хорды и проверять построение циркулем. Понятия окружности и круга пригодятся при изучении других геометрических фигур и построений. Позже они помогут разбираться в вычислении длины окружности и площади круга.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — только замкнутая линия, то есть граница. Круг включает эту границу и всю область внутри неё.
Может ли радиус быть проведён не до окружности, а до точки внутри круга?
Нет. Радиус соединяет центр именно с точкой окружности. Отрезок от центра до точки внутри круга не является радиусом.
Обязательно ли хорда проходит через центр?
Нет, хорда соединяет любые две точки окружности. Если она проходит через центр, то называется диаметром.
Почему диаметр вдвое больше радиуса?
Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности. Он состоит из двух радиусов, поэтому его длина равна удвоенной длине радиуса.
Может ли хорда быть длиннее диаметра?
Нет. Диаметр — самая длинная хорда окружности. Любая другая хорда не длиннее него.
22. Окружность и круг
