23. Доли. Обыкновенные дроби

Определения и обозначения

Доля — одна из равных частей целого. Например, если яблоко разделили поровну на две части, каждая часть составляет одну половину яблока. Понятие доли нужно, чтобы описывать части предметов и величин, не обязательно считая их целиком.

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, где b показывает, на сколько равных частей разделили целое, а a — сколько таких частей взяли. Например, 3/5 означает, что целое разделили на пять частей и взяли три. Такая запись позволяет кратко обозначать несколько одинаковых долей.

Знаменатель — число под дробной чертой. Он указывает, на сколько равных частей разделено целое: в дроби 3/5 знаменатель — 5. По знаменателю можно понять, какого размера одна доля при данном делении.

Числитель — число над дробной чертой. Он показывает, сколько равных частей целого взято: в дроби 3/5 числитель — 3. Это число помогает определить, какую часть целого описывает дробь.

Как это устроено

Чтобы получить доли, целое делят на несколько равных частей. Равенство частей необходимо: только тогда каждую из них можно считать одной и той же долей целого. Если одна часть больше другой, они обозначают разные по величине части, даже если их просто посчитать по одной.

Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили целое. Если разделить его на четыре одинаковые части, каждая будет одной четвёртой; если на пять — одной пятой. Число частей называют в названии доли, потому что оно определяет размер каждой части: чем больше равных частей, тем меньше каждая из них.

Несколько одинаковых долей записывают обыкновенной дробью. Знаменатель сообщает, на сколько частей разделили целое, а числитель — сколько из них выбрали. Например, если круг разделён на 6 равных частей и взяли 2, записывают 2/6: число 6 относится ко всему кругу, а число 2 — к выбранным частям.

Дробную черту читают как знак деления: числитель делят на знаменатель. Это связано с тем, что при равном делении целого на b частей одна часть составляет 1/b целого. Если взять a таких частей, получится a/b; поэтому дробь одновременно показывает выбранные доли и результат деления числителя на знаменатель.

Дробью можно описать часть предмета или величины, если целое разделено на равные части. Целым может быть не только пирог, но и длина отрезка, масса или другой измеряемый предмет. Сначала определяют, что именно принято за целое, затем считают равные части и выбирают нужные.

Доли и обыкновенная дробь

Пользуясь таблицей, сначала определи, что именно нужно описать: одну долю или несколько выбранных частей. Затем найди общее число равных частей — это знаменатель, и число выбранных частей — это числитель. Проверяй также, что части действительно равны.

Разбор задач

Круг разделили на 5 равных частей. Как называется одна такая часть и как её записать?

Нужно назвать долю по общему числу частей. Круг разделили поровну на пять частей, значит, каждая часть — одна пятая круга. Чтобы записать одну такую долю дробью, в числителе ставят 1, а в знаменателе — число всех частей.

1. Считаем число равных частей: их 5.
2. Называем одну часть: одна пятая.
3. Записываем её дробью: 1/5.

Ответ: одна пятая круга, или 1/5 круга.

Пирог разделили на 8 равных частей и взяли 3. Какую часть пирога взяли?

В этой задаче целое — весь пирог. Число всех равных частей показывает знаменатель, а число взятых кусочков — числитель. Поэтому записываем сначала 3, так как взяли три части, затем 8, так как всего их восемь.

1. Определяем число всех частей: 8 — это знаменатель.
2. Определяем число взятых частей: 3 — это числитель.
3. Составляем дробь: 3/8.

Ответ: взяли 3/8 пирога, то есть три восьмых пирога.

Отрезок длиной 12 см разделили на 4 равные части. Запишите дробью длину трёх таких частей и найдите её.

Сначала записываем выбранную часть отрезка: всего четыре равные части, а взяли три, значит, это 3/4 отрезка. Чтобы найти длину в сантиметрах, узнаём длину одной части: делим 12 см на 4. Затем берём три такие части, умножая длину одной части на 3.

1. Записываем выбранную часть: 3/4 отрезка.
2. Находим длину одной части: 12 : 4 = 3 см.
3. Находим длину трёх частей: 3 · 3 = 9 см.

Ответ: 3/4 отрезка, или 9 см.

Типичные ошибки

• Ошибка: делить целое на неравные части и называть их долями. Так делают, когда считают любое разделение подходящим, но доли должны быть равными. Проверь себя: сравни размеры частей; каждая должна быть одинаковой.

• Ошибка: путать числитель и знаменатель. Это происходит, если забыть, какое число стоит сверху, а какое снизу. Проверь запись: числитель над чертой показывает взятые части, знаменатель под чертой — все равные части целого.

• Ошибка: записывать в знаменателе число взятых частей. Обычно эти числа смешивают, потому что оба относятся к частям. Для проверки сначала посчитай все равные части на рисунке — это знаменатель; только потом считай выбранные — это числитель.

• Ошибка: считать, что дробь обозначает только несколько частей предмета. При таком понимании забывают, что дробная черта означает деление числителя на знаменатель. Проверь себя на записи a/b: её можно прочитать как «a разделить на b», где b не равно нулю.

Связь с другими темами

Для работы с долями нужно уметь делить предмет или величину на равные части и понимать смысл деления. Это помогает определить размер одной части и верно записать дробь. Если части не равны, запись долей не описывает разделение целого поровну.

Дроби пригодятся, когда нужно сравнить части величин, выполнять действия с дробями или решать задачи на доли. Например, чтобы найти несколько долей от длины, сначала находят одну долю делением, а затем берут нужное число таких частей. Так понятие дроби связывает деление с измерением и решением практических задач.

Что запомнить

• Доли получают, разделив целое на равные части.
• Одна из n равных частей называется одной n-й долей.
• В дроби знаменатель показывает число всех равных частей.
• Числитель показывает число взятых равных частей.
• Числитель записывают над дробной чертой, знаменатель — под ней.
• Дробная черта означает деление числителя на знаменатель.