23. Доли. Обыкновенные дроби

Определения и обозначения

Доля — одна из равных частей целого. Например, если пирог разделён на пять одинаковых частей, каждая часть — одна пятая. Равенство частей необходимо, потому что иначе одна часть могла бы быть больше другой и считать их одинаковыми долями было бы неверно. Это понятие помогает точно описывать, какую часть целого мы рассматриваем.

Обыкновенная дробь — запись вида a/b, показывающая, сколько равных долей взято. Например, дробь 3/5 означает, что целое разделили на пять равных частей и взяли три. Число частей и количество взятых частей могут быть разными, поэтому дробь удобнее словесного описания. Она нужна, чтобы коротко записывать части целого.

Числитель — число над чертой дроби. Он показывает, сколько долей взято: в дроби 3/5 числитель равен 3. Числитель помогает посчитать выбранные части. По нему можно понять, сколько долей нужно отметить или раскрасить.

Знаменатель — число под чертой дроби. Он показывает, на сколько равных частей разделено целое: в дроби 3/5 знаменатель равен 5. Знаменатель объясняет, какого размера доли рассматриваются. Его нельзя заменить числом 0, потому что разделить целое на ноль частей невозможно.

Как это устроено

Чтобы назвать одну долю, сначала раздели целое на равные части. Если таких частей пять, одну из них называют одной пятой и записывают 1/5. Число 5 ставят внизу, потому что оно отвечает на вопрос, на сколько частей разделили целое. Наверху записывают 1, так как рассматривают одну часть.

Если взяли несколько одинаковых долей, их количество указывают в числителе, а общее число частей — в знаменателе. Например, запись 3/7 означает, что целое разделено на семь равных частей и выбраны три из них. Знаменатель остаётся тем же, потому что размер каждой доли не меняется. Числитель увеличивается, когда берут больше долей.

Знаменатель не может быть равен нулю, потому что он сообщает, на сколько частей разделили целое. Ноль означает отсутствие частей, а разделить целое на ноль частей нельзя. Поэтому в записи обыкновенной дроби под чертой должно стоять число, отличное от нуля. Это правило нужно проверять при записи дроби.

Дробь читают, называя сначала числитель, а затем знаменатель: 3/5 читают «три пятых». При записи числитель помещают над дробной чертой, а знаменатель — под ней. Черта показывает, что числа относятся к одной дроби, а не обозначает вычитание. Если перепутать числа местами, получится запись с другим смыслом.

Дробью можно описать часть не только одного предмета. Если отметить несколько равных частей отрезка, дробь покажет, какая часть всей его длины отмечена. Так же можно посчитать предметы в группе: если из двенадцати карандашей пять красные, красные составляют 5/12 группы. В каждом случае важно сначала определить целое и равные единицы, которые считаются его частями.

Как устроена обыкновенная дробь

Найди нужный элемент дроби в первом столбце, а затем прочитай, что он показывает. Последний столбец разбирает пример 3/5: целое поделено на пять равных частей, и три из них взяты. Такой порядок помогает не путать количество всех частей с количеством выбранных.

Разбор задач

Задача 1. Круг разделили на 4 равные части. Какую долю составляет одна часть? Нужно назвать одну долю, поэтому сначала определим, сколько частей получилось всего. Все части одинаковы, значит, каждую можно описать одной и той же дробью. Число взятых частей здесь равно единице.

1. Всего равных частей — 4, поэтому знаменатель будет 4.
2. Рассматривают одну часть, поэтому числитель будет 1.
3. Записываем дробь 1/4 и читаем: одна четвёртая.

Ответ: одна часть составляет 1/4 круга. Знаменатель показывает четыре равные части, а числитель — одну выбранную часть. Если бы части были неодинаковыми, такая запись не описывала бы их точную долю. Здесь условие о равенстве частей позволяет использовать дробь.

Задача 2. Отрезок разделили на 7 равных частей и отметили 3 части. Какую часть отрезка отметили? Целое в этой задаче — весь отрезок, а его части равны. Чтобы составить дробь, отдельно посчитаем все части и отмеченные части. Эти числа займут разные места в записи.

1. Всего равных частей семь, значит, знаменатель равен 7.
2. Отмечены три части, значит, числитель равен 3.
3. Записываем 3/7: это три седьмых отрезка.

Ответ: отметили 3/7 отрезка. Проверка проста: внизу указано общее число частей, а наверху — число отмеченных. Если поставить эти числа наоборот, получится ответ на другой вопрос. Длина отрезка для записи дроби не нужна, потому что мы считаем его равные части.

Задача 3. В коробке 12 одинаковых карандашей, 5 из них красные. Какую часть всех карандашей составляют красные? Целое здесь — все карандаши в коробке, а отдельный карандаш считается одной единицей. Сначала определим общее число предметов, затем — сколько предметов обладает нужным признаком. Так можно понять, какие числа поставить в знаменатель и числитель.

1. Всего карандашей 12, значит, знаменатель равен 12.
2. Красных карандашей 5, значит, числитель равен 5.
3. Записываем дробь 5/12, которая обозначает красные карандаши среди всех.

Ответ: красные карандаши составляют 5/12 всех карандашей. Здесь дробь описывает не части одного предмета, а часть группы. Карандаши одинаковы, поэтому каждый из них учитывается как одна равная единица. По записи видно и размер всей группы, и число предметов нужного цвета.

Типичные ошибки

Иногда в знаменателе указывают число взятых частей, а в числителе — общее число частей. Так происходит, когда забывают, что числа отвечают на разные вопросы. Чтобы проверить себя, спроси: сколько частей всего и сколько из них выбрано? Например, если из пяти взяли три, должно получиться 3/5.

Ещё одна ошибка — считать долями неравные части. Это случается, когда считают только количество кусочков и не проверяют их размер. Доля должна быть равной другим частям, иначе дробь не описывает целое правильно. Перед записью убедись, что предмет или отрезок разделён поровну.

Нельзя ставить ноль в знаменатель. Его могут записать, если путают знаменатель с числом взятых частей или механически записывают числа из условия. Проверь, сколько частей целого получилось: это число не может быть нулём. Если разделения на части нет, знаменатель такой дроби записать нельзя.

Дробь иногда читают снизу вверх или принимают черту за знак вычитания. Это происходит, если не различать расположение чисел и назначение черты. Числитель всегда сверху, знаменатель — снизу, а дробная черта разделяет их. Проверь, что называешь сначала верхнее число, затем нижнее, и объясняешь смысл всей записи.

Связь с другими темами

Для работы с долями нужно уметь делить целое на равные части и считать предметы в группе. Если эти действия пока даются трудно, потренируйся делить полоску на одинаковые отрезки и пересчитывать предметы без пропусков. Дроби пригодятся при сравнении дробей: тогда важно понимать, сколько долей взято и какого они размера. Они также нужны, чтобы находить часть числа, например определять, сколько предметов составляют несколько долей от всей группы.

Что запомнить

• Доля — равная часть целого.
• Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое.
• Числитель показывает, сколько долей взято.
• В дроби числитель записывают над чертой, знаменатель — под ней.
• Знаменатель не может быть равен нулю.
• Обыкновенная дробь может обозначать часть предмета, отрезка или группы предметов.