22. Окружность и круг

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности. Например, если центр обозначен буквой O, а точка A лежит на окружности, то расстояние OA показывает, как далеко линия расположена от центра. Понятие окружности помогает описывать и строить такую линию.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе с самой окружностью. Иными словами, окружность — это только граница, а круг включает также все точки внутри неё. Такое различие нужно, чтобы точно говорить, имеем ли мы в виду линию или всю область.

Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Если O — центр, а A лежит на окружности, радиус обозначают OA. Все радиусы одной окружности равны: например, OA = OB, если A и B принадлежат этой окружности. Радиус нужен для измерения окружности и построения её циркулем.

Диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Его можно обозначить, например, AB, если A и B лежат на окружности, а центр находится на отрезке AB. Диаметр состоит из двух радиусов и равен двум радиусам. Это позволяет находить его длину, даже если известен только радиус.

Как это устроено

Окружность удобно строить циркулем, потому что его ножки сохраняют расстояние между собой, пока мы поворачиваем инструмент. Иглу ставят в будущий центр, а карандаш закрепляют на расстоянии, равном радиусу. При вращении карандаш всё время находится на одинаковом расстоянии от иглы. Поэтому начерченная линия соответствует определению окружности.

Окружность и круг связаны, но обозначают разные объекты. Окружность задаёт границу: её можно обвести, не закрашивая то, что внутри. Круг включает эту границу и каждый участок плоскости внутри неё. Поэтому, когда говорят о линии, используют слово «окружность», а когда имеют в виду всю область — «круг».

Положение точки можно проверить, измерив расстояние от неё до центра и сравнив его с радиусом. Если расстояние меньше радиуса, точка расположена ближе к центру, чем граница, значит, находится внутри круга. Если расстояние равно радиусу, точка удалена от центра ровно настолько, насколько удалена любая точка окружности, поэтому она лежит на окружности. Если расстояние больше радиуса, точка находится за границей круга.

Все радиусы равны, потому что каждая точка одной окружности по определению одинаково удалена от её центра. Если провести через центр прямую, она пересечёт окружность с двух сторон. Отрезки от центра до этих точек — радиусы, лежащие на одной прямой. Вместе они образуют один отрезок с концами на окружности, то есть диаметр.

Диаметр проходит через центр, поэтому делится им на две части — два радиуса. Эти части равны, так как обе являются радиусами одной окружности. Значит, диаметр складывается из двух одинаковых отрезков: если радиус равен 5 см, диаметр равен 10 см. Чтобы найти диаметр, умножают радиус на 2, а чтобы найти радиус по диаметру — делят диаметр на 2.

Окружность, круг и связанные с ними отрезки

Сначала найди в таблице нужный объект, затем посмотри, как он определяется: это помогает не перепутать линию, область и отрезки. В последнем столбце собраны связи, которые пригодятся при решении задач. Например, по радиусу можно сразу вычислить диаметр.

Разбор задач

Задача 1. Построить окружность с центром O и радиусом 3 см, отметить на ней точку A и провести радиус OA. Нужно получить линию, каждая точка которой находится от O на расстоянии 3 см. Поэтому сначала устанавливаем это расстояние циркулем, а затем проводим окружность, не меняя раствора.

1. Отметим точку O и линейкой отложим между ножками циркуля 3 см.
2. Поставим иглу в O и повернём циркуль, чтобы карандаш начертил замкнутую линию.
3. Выберем на линии точку A и проведём отрезок OA. Его длина равна 3 см, значит, он соединяет центр с точкой окружности.

Ответ: окружность построена, OA — её радиус длиной 3 см. Точка A лежит на окружности, потому что отмечена на начерченной линии.

Задача 2. Расстояние от центра O до точки A равно 4 см, а радиус окружности равен 5 см. Определим положение точки; затем сделаем такой же вывод для расстояний 5 см и 6 см. Сравниваем каждое расстояние с радиусом, потому что граница круга находится ровно в 5 см от центра.

1. При расстоянии 4 см имеем 4 см < 5 см. Точка ближе к центру, чем окружность, поэтому находится внутри круга.
2. При расстоянии 5 см расстояние равно радиусу. Значит, точка лежит на окружности.
3. При расстоянии 6 см имеем 6 см > 5 см. Точка расположена дальше границы, то есть вне круга.

Ответ: при расстоянии 4 см точка внутри круга, при 5 см — на окружности, при 6 см — вне круга. Во всех трёх случаях вывод сделан сравнением расстояния до центра с радиусом.

Задача 3. Радиус окружности равен 7 см. Построим диаметр и найдём его длину. Чтобы отрезок был диаметром, недостаточно соединить две точки окружности: он также должен проходить через центр. Это условие подсказывает, как именно его провести.

1. Проведём через центр прямую и отметим две точки, в которых она пересекает окружность.
2. Соединим эти точки отрезком. Он проходит через центр и имеет концы на окружности, поэтому является диаметром.
3. Диаметр состоит из двух радиусов по 7 см: 7 см + 7 см = 14 см.

Ответ: длина диаметра равна 14 см. Отрезок является диаметром, потому что соединяет две точки окружности и проходит через центр.

Типичные ошибки

• Называют круг окружностью, потому что смешивают границу и область внутри неё. Проверь себя: если речь только о линии, это окружность; если включена внутренняя часть — круг. У круга граница тоже есть, но сам круг не ограничивается одной линией.

• Считают радиусом отрезок от центра до точки внутри круга. Такую ошибку допускают, потому что точка и отрезок находятся в круге, но этого недостаточно: конец радиуса должен лежать именно на окружности. Проверь, касается ли дальний конец отрезка границы.

• Называют диаметром любой отрезок между двумя точками окружности. Ошибка в том, что забывают дополнительное условие: диаметр обязан проходить через центр. Проведи взглядом отрезок к центру или проверь, делит ли центр его на две части.

• Полагают, что диаметр равен радиусу, рассматривая только одну половину диаметра. Но диаметр включает две половины — два радиуса, расположенных на одной прямой. Для проверки сравни длины: если радиус равен 4 см, весь диаметр должен быть 8 см, а не 4 см.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужны знания о точке, отрезке и расстоянии, а также умение измерять и сравнивать длины. Они помогают строить окружности и определять положение точек. Эти понятия пригодятся при геометрических построениях и решении задач на радиус и диаметр. Позже окружность и круг понадобятся при изучении длины окружности и площади круга.

Что запомнить

• Окружность — граница круга.
• Круг включает внутреннюю область и ограничивающую её окружность.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Диаметр проходит через центр и соединяет две точки окружности.
• Диаметр равен двум радиусам.