"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Гармоническая пропорция связывает три положительные величины: крайние a и c и среднюю b. Средний член вычисляют по формуле b = 2ac/(a + c), а сама пропорция записывается так: 2ac = b(a + c). Это особый вид среднего, отличный от арифметического и геометрического. Гармоническая пропорция помогает находить среднее значение, сравнивать величины и понимать, почему обратные величины образуют арифметическую прогрессию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гармоническая пропорция — соотношение трёх положительных величин a, b и c, в котором средняя величина b является средним гармоническим крайних. Её основное равенство имеет вид 2ac = b(a + c). Оно показывает, как связаны крайние числа и число между ними.
Среднее гармоническое двух положительных чисел a и c находят по формуле b = 2ac/(a + c). Сначала перемножают крайние числа и удваивают произведение, затем делят на их сумму. Эта формула нужна, когда требуется найти особое среднее, а не обычное среднее арифметическое.
Гармоническая прогрессия — последовательность, обратные величины членов которой образуют арифметическую прогрессию. Например, вместо самих чисел рассматривают 1/a, 1/b и 1/c. Такое определение помогает превратить гармоническую зависимость в знакомую арифметическую.
Обратная величина числа — число, произведение которого с исходным равно единице: для a это 1/a, если a ≠ 0. Обращение членов позволяет увидеть связь 2/b = 1/a + 1/c. Поэтому обратные величины особенно важны при изучении гармонической прогрессии.
Равенство 2ac = b(a + c) можно раскрыть: 2ac = ab + bc. Перенесём слагаемые и получим ac − ab = bc − ac, или a(c − b) = c(b − a). После изменения знаков это даёт a(b − c) = c(a − b), а деление на c(b − c) приводит к (a − b)/(b − c) = a/c. Значит, отношение двух соседних разностей связано с отношением крайних чисел.
Из 2ac = b(a + c) выражаем b делением обеих частей на a + c: b = 2ac/(a + c). Если a и c положительны и a < c, то b > a, потому что 2c > a + c, и b < c, потому что 2a < a + c. При c < a рассуждение меняется местами, поэтому b всегда лежит между крайними числами.
Среднее гармоническое не больше среднего арифметического. Это видно из разности: (a + c)/2 − 2ac/(a + c) = (a − c)²/[2(a + c)]. Числитель является квадратом и неотрицателен, а знаменатель положителен, поэтому разность неотрицательна. Равенство бывает только при a = c.
Связь с арифметической прогрессией возникает после обращения чисел. Если a, b и c — последовательные члены гармонической прогрессии, то 1/a, 1/b и 1/c образуют арифметическую прогрессию. Для неё верно 2/b = 1/a + 1/c; умножение на abc возвращает равенство 2ac = b(a + c). Так гармоническая пропорция объясняется через уже знакомое свойство арифметической прогрессии.
В таблице смотрите прежде всего на условие для трёх чисел, а затем выбирайте формулу среднего члена. Подставив крайние значения, можно быстро найти b и проверить равенство.
| Вид пропорции | Условие для a, b, c | Формула среднего члена | Пример |
|---|---|---|---|
| Арифметическая | 2b = a + c | b = (a + c)/2 | 3, 5, 7 |
| Геометрическая | b² = ac | b = √(ac) | 2, 4, 8 |
| Гармоническая | 2ac = b(a + c) | b = 2ac/(a + c) | 6, 4, 3 |
Крайние числа здесь равны a = 6 и c = 3, поэтому используем формулу для среднего гармонического. После вычисления обязательно проверим результат в основном равенстве.
Ответ: 4.
Считаем, что a = 12, b = 8, c = 6. Проверим условие напрямую, чтобы не выполнять лишние преобразования.
Ответ: да, числа образуют гармоническую пропорцию.
Отношение 2:5 означает, что числа можно записать как 2x и 5x. Подставим их в формулу среднего гармонического и найдём общий множитель x.
Ответ: 14 и 35.
Среднее гармоническое иногда находят как (a + c)/2. Так делают из-за привычки к арифметическому среднему, но это другая величина. Проверьте вид условия: для гармонической пропорции должно быть 2ac = b(a + c).
В формуле 2ac/(a + c) забывают множитель 2 или складывают не те числа в знаменателе. Ошибка появляется, если подставлять значения без записи формулы целиком. Сначала выпишите 2 · a · c и a + c отдельно.
Некоторые проверяют только равенство произведений и не смотрят на положение b. Для положительных крайних чисел среднее гармоническое должно лежать между ними. Сравните найденное b с a и c, а затем выполните подстановку в основное равенство.
Формулу без проверки применяют к нулевым или отрицательным величинам. При нуле знаменатель может обратиться в ноль, а для отрицательных чисел привычные свойства среднего не гарантируются. Убедитесь, что числа положительны и сумма крайних чисел не равна нулю.
Для гармонической пропорции нужны отношения, пропорции, действия с дробями, а также представления об арифметической и геометрической прогрессиях. Эти знания помогают читать формулу и преобразовывать её.
Обратные величины связывают тему с арифметической прогрессией: после обращения членов гармоническая прогрессия превращается в арифметическую. Это удобный способ распознать закономерность.
На практике гармоническая пропорция встречается при поиске средних величин, в задачах на масштабы и скорости при одинаковых расстояниях. Например, средняя скорость на двух равных участках находится гармоническим способом.
Чем среднее гармоническое отличается от среднего арифметического?
Среднее арифметическое чисел a и c равно (a + c)/2, а среднее гармоническое — 2ac/(a + c). Для положительных чисел среднее гармоническое не больше арифметического.
Почему в формуле среднего гармонического появляется множитель 2?
Гармоническая пропорция сравнивает два крайних числа с двумя одинаковыми средними величинами. Поэтому после сложения обратных величин получается 2/b = 1/a + 1/c, откуда и появляется множитель 2.
Как быстро проверить, образуют ли три числа гармоническую пропорцию?
Подставьте числа в равенство 2ac = b(a + c). Если обе части равны, пропорция выполнена. Также можно проверить равенство (a − b)/(b − c) = a/c, если знаменатели не равны нулю.
Можно ли использовать среднее гармоническое для отрицательных чисел?
В школьном определении берут положительные числа. Для отрицательных чисел формулу иногда можно вычислить, но свойства среднего и положение b между a и c уже нельзя применять без отдельной проверки.
Где гармоническая пропорция применяется в практических задачах?
Она встречается в задачах на средние скорости при одинаковых расстояниях, отношения, масштабы и другие величины, для которых удобнее работать с обратными значениями.
6.5. Гармоническая пропорция
