11.1. Измерение площади. Площадь многоугольника

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, которая показывает, сколько места многоугольник занимает на плоскости. Площадь обычно обозначают латинской буквой S. Она помогает сравнивать фигуры по размеру занимаемой ими поверхности, даже если их форма различается.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения. Фигуру покрывают такими квадратами без промежутков и наложений, а затем считают их. Так площадь можно выразить числом: например, сказать, что она равна 18 единицам площади.

Квадратный сантиметр и квадратный метр — площади квадратов со сторонами соответственно 1 см и 1 м. Их обозначают см² и м²: верхняя маленькая двойка показывает, что измеряется площадь квадрата. Эти единицы удобны для разных размеров: см² — для небольших поверхностей, м² — для более крупных.

Равные многоугольники — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. При совмещении одна фигура занимает ровно то же место, что и другая, поэтому площади равных многоугольников одинаковы. Это позволяет сравнивать площади, не пересчитывая квадраты.

Как это устроено

Измерить площадь — значит сравнить фигуру с выбранной единицей площади. Если покрыть её единичными квадратами, то число квадратов покажет, сколько таких единиц в ней содержится. Квадраты должны прилегать друг к другу без щелей и не заходить один на другой, иначе подсчёт будет неверным.

Площадь не меняется от того, как именно фигуру разрезали на части. Если части не перекрываются и вместе составляют целую фигуру, можно измерить каждую отдельно, а затем сложить результаты. Это свойство полезно, когда многоугольник сложно покрыть квадратами целиком, но легко разделить на более простые фигуры.

У фигур с криволинейной границей часть единичных квадратов может лишь частично попадать внутрь. Но в этой теме речь идёт о многоугольниках: их площадь можно находить, разбивая фигуру на части с прямыми сторонами. Например, такой многоугольник можно разделить на прямоугольники и треугольники, а затем сложить их площади.

Квадратные единицы связаны с единицами длины, из которых построены стороны квадрата. В квадрате со стороной 1 дм помещается 10 рядов по 10 квадратов со стороной 1 см, поэтому 1 дм² = 100 см². В квадрате со стороной 1 м — 100 рядов по 100 таких квадратов, значит, 1 м² = 10 000 см².

При вычислении площади нужны квадратные единицы, потому что площадь описывает размер поверхности, а не длину одного отрезка. Например, ответ 12 см сообщает длину, но не площадь. Запись 12 см² означает, что площадь равна площади двенадцати квадратов со стороной 1 см.

Единицы измерения площади и их соотношения

Выбирай единицу, подходящую к размеру поверхности: небольшие предметы удобнее измерять в см² или мм², большие — в м². При переходе к меньшей квадратной единице число увеличивается, а к большей — уменьшается. Например, для перевода см² в мм² умножают на 100, потому что 1 см² состоит из 100 мм².

Разбор задач

Задача 1. Фигуру покрыли без промежутков 18 квадратами со стороной 1 см. Найдите её площадь. Каждый такой квадрат имеет площадь 1 см², поэтому нужно посчитать количество квадратов и записать ответ именно в квадратных сантиметрах.

1. Определяем единицу измерения: квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см².
2. Считаем все квадраты, покрывающие фигуру: их 18.
3. Умножаем 18 на 1 см² или сразу записываем 18 единичных квадратов как 18 см².

Ответ: 18 см². Здесь важно не написать 18 см: сантиметр измеряет длину, а квадратный сантиметр — площадь.

Задача 2. Многоугольник разделён на три части площадью 7 см², 9 см² и 12 см². Найдите площадь всего многоугольника. Поскольку части образуют целую фигуру и не перекрываются, площадь целого равна сумме площадей частей.

1. Проверяем, что части вместе составляют многоугольник без промежутков и наложений.
2. Складываем площади частей: 7 + 9 + 12 = 28.
3. Оставляем единицу измерения см², общую для всех частей.

Ответ: 28 см². Складывать можно, потому что каждое слагаемое измеряет площадь части в одних и тех же единицах.

Задача 3. На клетчатой бумаге изображён многоугольник. Найдите его площадь, разбив его на прямоугольники и треугольники с известной площадью. Сначала нужно выбрать разбиение, при котором части покрывают всю фигуру ровно один раз; затем вычислить площади частей и сложить их.

1. Проведите внутри многоугольника линии, чтобы получить прямоугольники и треугольники.
2. Для прямоугольников найдите площадь по известному правилу: умножьте длины двух сторон. Площадь каждого треугольника найдите по данным задачи или по подсчёту клеток.
3. Сложите площади всех частей и проверьте, что единицы измерения одинаковы.

Ответ записывают в квадратных единицах, например в см², если сторона клетки равна 1 см. Численный ответ зависит от размеров конкретного рисунка. Проверить разбиение можно по контуру: он должен целиком совпадать с границей исходного многоугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: записать площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так бывает, если перепутать измерение длины и площади. Проверь себя: ответ должен указывать, сколько квадратов выбранной стороны помещается в фигуре, поэтому нужна единица см², м² или другая квадратная единица.

Ошибка: посчитать только целые клетки внутри фигуры и не учесть части клеток у границы. Неполные клетки тоже занимают место, поэтому такой подсчёт обычно даёт слишком маленький результат. Проверь себя: объедини части граничных клеток в целые или разбей фигуру на части, площадь которых можно найти.

Ошибка: переводить квадратные единицы так же, как единицы длины. Например, переход от метров к сантиметрам требует умножения на 100, но для площади 1 м² равен 10 000 см², а не 100 см². Проверь себя: коэффициент перевода длины нужно возвести в квадрат, потому что у квадрата две стороны.

Ошибка: складывать площади частей, которые перекрываются. Перекрытая область тогда будет учтена дважды, и результат окажется больше площади фигуры. Проверь себя: части должны вместе покрывать многоугольник без пропусков, а каждая точка его внутренней области должна относиться только к одной части.

Связь с другими темами

Для работы с площадью пригодятся знания единиц длины, квадрата и прямоугольника, а также умение считать и сравнивать натуральные числа. Например, чтобы определить площадь клетки, нужно знать длину её стороны, а чтобы найти площадь составной фигуры — сложить результаты подсчёта.

Понятие площади понадобится при изучении правил вычисления площади прямоугольника и других фигур. Оно также помогает решать практические задачи: например, оценивать размер пола, стены или участка поверхности, который нужно покрыть материалом.

Что запомнить

• Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости.
• Площадь измеряют квадратными единицами.
• Площадь единичного квадрата принимают за единицу измерения.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей, если части не перекрываются.
• При переводе квадратных единиц коэффициент перевода длины нужно возвести в квадрат.