"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Её измеряют квадратными единицами: например, квадратными сантиметрами или квадратными метрами. Если фигуру можно покрыть одинаковыми квадратами без промежутков и наложений, её площадь равна количеству таких квадратов. Для прямоугольника действует удобное правило: длину умножают на ширину. Эти знания помогают сравнивать фигуры и вычислять, сколько материала понадобится для покрытия поверхности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает фигура. Например, лист бумаги занимает на столе некоторую часть его поверхности. Площадь нужна, чтобы сравнивать, сколько места занимают разные фигуры, и решать практические задачи о покрытиях.
Единица площади — квадрат, сторона которого принята за единицу длины; площадь такого квадрата обозначают соответствующей квадратной единицей. Если сторона равна одному сантиметру, единица площади называется квадратным сантиметром. Благодаря единой мерке результаты измерений можно сравнивать и записывать одинаково.
Квадратный сантиметр, квадратный метр и другие квадратные единицы — единицы измерения площади. Квадратный сантиметр записывают см², а квадратный метр — м². Маленькие поверхности удобно измерять в см², а, например, пол комнаты — в м².
Площадь прямоугольника — произведение длины прямоугольника на его ширину; обозначается буквой S. Если длина равна a, а ширина — b, то S = a · b. Эта запись помогает быстро найти площадь, не пересчитывая каждый квадрат внутри прямоугольника.
Чтобы измерить площадь, выбирают одинаковый единичный квадрат и мысленно покрывают им фигуру. Квадраты должны лежать без наложений и промежутков, иначе одни места будут учтены дважды, а другие не попадут в измерение. Площадь равна числу квадратов, которыми покрыта фигура, поэтому единичный квадрат играет роль мерки. Если фигура не укладывается в целое число квадратов, её можно разбить на части или использовать более мелкую мерку.
Площади удобно сравнивать, если разбить фигуры на квадраты одного размера. У какой фигуры таких квадратов больше, та занимает большую часть плоскости. Сравнивать количество квадратов разного размера напрямую нельзя: маленьких клеток на той же площади поместится больше. Форма сама по себе не определяет площадь: фигуры разной формы могут занимать одинаковое место, если в каждой помещается одно и то же число равных квадратов.
Составную фигуру можно разделить на простые части, например прямоугольники и квадраты. Если части не перекрываются и вместе заполняют всю фигуру, каждый участок учитывается ровно один раз. Поэтому для нахождения площади всей фигуры достаточно сложить площади частей. Такой способ удобен, когда для целой фигуры нет готовой формулы.
Прямоугольник можно покрыть рядами одинаковых квадратов. Если в одном ряду помещается b квадратов, а рядов всего a, то общее число квадратов равно b · a. Именно поэтому площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину. Например, 4 ряда по 7 квадратов дают 4 · 7 квадратов, а не сумму длин сторон.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Поэтому в формуле площади прямоугольника длина и ширина квадрата становятся одной и той же величиной. Если сторона квадрата равна a, получаем S = a · a. Так находят площадь квадрата: умножают длину его стороны саму на себя.
| Объект | Что измеряем или находим | Формула или соотношение | Единица площади |
|---|---|---|---|
| Единичный квадрат | Площадь квадрата с принятой за единицу стороной | Сторона 1 единица длины | Квадратная единица, например см² |
| Прямоугольник | Площадь прямоугольника | S = длина · ширина | Например, см² или м² |
| Квадрат | Площадь квадрата | S = сторона · сторона | Например, см² или м² |
| Составная фигура | Площадь всей фигуры | Сумма площадей частей | Та же единица у всех частей |
| Переход между квадратными единицами | Одна и та же площадь в другой единице | Сначала перевести длины, затем вычислить площадь | Все значения привести к одной единице |
Сначала определи, какую фигуру измеряешь и какие размеры известны, затем выбери подходящую строку таблицы. Проверь, что длины выражены в одинаковых единицах, и только после этого вычисляй. В ответе укажи квадратную единицу, соответствующую выбранным длинам.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 7 см и 4 см. Чтобы выбрать действие, вспомним: прямоугольник можно представить рядами равных квадратов. В одном направлении помещается 7 квадратов, а рядов — 4. Значит, нужно перемножить числа 7 и 4.
Ответ: 28 см². Квадратные сантиметры указаны потому, что перемножены две длины в сантиметрах.
Задача 2. Сравнить площади двух фигур, разбитых на разное количество одинаковых квадратов. Для сравнения нужна одна и та же мерка: по условию квадраты одинакового размера, поэтому достаточно пересчитать их. Если вместо клеток даны значения в разных единицах, сначала приводим их к одной единице площади. Например, нельзя сравнивать число 8 см² с числом 10 дм², не учитывая, что квадратные единицы различаются.
Ответ: площадь больше у фигуры, покрытой большим числом одинаковых квадратов. Если клеток не видно, но площади записаны в разных единицах, сначала переводим их к одной единице и затем сравниваем.
Задача 3. Найти площадь фигуры, составленной из прямоугольника и квадрата, если известны размеры всех частей. Считать квадраты для всей фигуры необязательно: её удобно разделить по границе между частями. Поскольку прямоугольник и квадрат вместе составляют фигуру и не перекрываются, их площади можно сложить. Пусть у прямоугольника стороны a и b, а сторона квадрата равна c.
Ответ: площадь составной фигуры равна a · b + c · c квадратных единиц. В конкретной задаче подставь известные размеры и выполни вычисления.
Записывают площадь в сантиметрах, хотя сантиметр измеряет длину, а не поверхность. Такую ошибку легко допустить, если перенести единицу из условия, не подумав о результате умножения. Проверь себя: в ответе должна стоять квадратная единица, например см².
Перемножают длину и ширину, выраженные в разных единицах. Числа могут выглядеть готовыми к вычислению, но результат окажется неверным, если одна сторона дана в сантиметрах, а другая — в метрах. Сначала переведи обе длины в одну единицу, а затем проверь размерность ответа.
Для составной фигуры складывают длины сторон вместо площадей её частей. Вероятно, путают площадь с периметром: это разные величины. Найди площадь каждой части отдельно, сложи полученные квадратные единицы и проверь, что части не перекрываются.
Считают, что фигуры с одинаковым периметром обязательно имеют одинаковую площадь. Периметр описывает длину границы, а площадь — место внутри неё, поэтому одна величина не задаёт другую. Для проверки сравни площади по квадратам или вычисли их по подходящим формулам, а не делай вывод только по периметру.
Для работы с площадью нужны знания об единицах длины, измерении отрезков и умножении натуральных чисел. Формулы площади применяются к прямоугольнику и квадрату, а разбиение фигуры на части помогает решать задачи, где одной простой формулы недостаточно. Позже эти приёмы пригодятся при вычислении площадей сложных фигур. В быту площадь помогает оценить, сколько плитки, краски или другого материала потребуется для поверхности.
Почему площадь измеряют квадратными, а не обычными сантиметрами?
Обычные сантиметры измеряют длину, а площадь показывает, сколько места занимает фигура. Для её измерения считают квадраты со стороной 1 см. Площадь такого квадрата равна 1 квадратному сантиметру.
Можно ли найти площадь прямоугольника, если его стороны выражены в разных единицах?
Можно, но сначала нужно перевести обе длины в одинаковые единицы. Например, одну сторону выразить в сантиметрах, если вторая дана в сантиметрах. Тогда результат получится в квадратных сантиметрах.
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура внутри границы. Периметр — это общая длина её границы. Поэтому площадь измеряют квадратными единицами, а периметр — единицами длины.
Как найти площадь фигуры неправильной формы?
Если возможно, фигуру разбивают на прямоугольники и другие простые части, находят их площади и складывают. Если фигура нарисована на клетчатой бумаге, можно посчитать целые клетки и оценить части клеток. Способ зависит от того, какие размеры известны.
Почему при сложении площадей частей получается площадь всей фигуры?
Части вместе составляют всю фигуру, а внутри них нет наложений и незаполненных мест. Поэтому каждый участок плоскости учитывается ровно один раз. Сумма площадей частей и есть площадь целой фигуры.
§ 11. Площадь
