"Математика (в 2 частях)", Башмаков М.И., Нефёдова М.Г.
Площадь показывает, сколько места занимает плоская фигура. Её сравнивают и измеряют, покрывая фигуру одинаковыми квадратами без промежутков и наложений. Поэтому результат записывают в квадратных единицах: см², дм², м². Для прямоугольника площадь равна произведению длины и ширины: S = a · b, а для квадрата со стороной a — a². Знание площади помогает решать задачи о поверхностях, комнатах, участках и составных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь — величина, которая показывает, сколько места занимает плоская фигура. Её обозначают буквой S и сравнивают по размеру занимаемой поверхности. Это понятие нужно, чтобы измерять пол, участок, лист или любую другую плоскую часть предмета.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна одной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², а квадрат со стороной 1 м — 1 м². Такие единицы позволяют получать точные и одинаково понимаемые результаты.
Равные фигуры — фигуры с одинаковой площадью. Их можно совместить полностью или разрезать на одинаковые части, а затем составить из этих частей снова. Равенство площадей помогает сравнивать сложные формы, даже если их внешний вид различается.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: S = a · b. Буквами a и b обычно обозначают длину и ширину прямоугольника, а S — его площадь. Формула позволяет быстро найти число квадратных единиц внутри фигуры.
Чтобы сравнить площади фигур, их мысленно или на самом деле покрывают одинаковыми квадратами. Квадраты должны соприкасаться сторонами, не оставлять промежутков и не накладываться друг на друга. Тогда фигура, для которой нужно больше таких квадратов, имеет большую площадь, потому что в ней помещается больше одинаковых частей.
Измерение площади получается из такого покрытия: считают количество единичных квадратов. Если один квадрат имеет сторону 1 см, каждый из них занимает 1 см², а общее число квадратов показывает площадь фигуры в квадратных сантиметрах. Поэтому площадь записывают именно в квадратных единицах, а не в сантиметрах или метрах.
При переходе от сантиметров к дециметрам меняются обе стороны единичного квадрата. Поскольку 1 дм = 10 см, по длине помещается 10 маленьких квадратов и столько же рядов по ширине. Значит, 1 дм² = 10 · 10 = 100 см², а не 10 см²; таким же образом 1 м² = 100 дм².
Прямоугольник можно представить как несколько рядов одинаковых единичных квадратов. Число квадратов в одном ряду равно длине a, а число рядов — ширине b. Поэтому общее число квадратов находят умножением: S = a · b.
У квадрата все стороны равны, поэтому в формуле прямоугольника оба множителя становятся равными a. Получается S = a · a = a², то есть площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Составную фигуру находят, разделив её на простые неперекрывающиеся части и сложив их площади, либо дополнив до известной фигуры и вычтя лишнюю область.
| Фигура | Данные | Формула площади | Единицы результата |
|---|---|---|---|
| Прямоугольник | Стороны a и b | S = a · b | см², дм², м² |
| Квадрат | Сторона a | S = a² | см², дм², м² |
| Переход между квадратными единицами | 1 дм = 10 см; 1 м = 10 дм | 1 дм² = 100 см²; 1 м² = 100 дм² | Квадратные единицы |
Сначала определите, какая фигура дана и какие её размеры известны. Затем выберите формулу и проверьте, что длины выражены в одинаковых единицах. В ответе обязательно указывайте квадратную единицу площади.
Нужно найти площадь площадки со сторонами 8 м и 5 м. Площадка имеет форму прямоугольника, поэтому используются две смежные стороны. Обе длины уже измерены в метрах, значит, переводить единицы не требуется.
Ответ: 40 м². Полученное число означает, что площадку можно покрыть 40 квадратами со стороной 1 м.
Требуется узнать, сколько квадратных сантиметров содержится в 3 дм². Один дециметр равен 10 сантиметрам, но речь идёт о площади, поэтому нужно учесть и длину, и ширину квадрата. Значит, один квадратный дециметр содержит 10 · 10 = 100 квадратных сантиметров.
Ответ: 300 см². Умножение на 100 необходимо потому, что единица площади уменьшается сразу по двум измерениям.
Г-образную фигуру удобно представить как две прямоугольные части, которые не перекрываются. Для каждой части используют формулу S = a · b, а затем складывают результаты. Если размеры заданы в разных единицах, перед вычислениями их сначала приводят к одной единице.
Ответ: площадь Г-образной фигуры равна сумме площадей двух прямоугольников. Если фигуру удобнее дополнить до большого прямоугольника, из его площади вычитают площадь недостающей части.
Площадь записывают в сантиметрах или метрах, путая её с длиной. Такая запись описывает не поверхность, а отрезок или границу. Проверьте себя: после вычисления у площади должен стоять значок квадрата — см², дм² или м².
При переводе единиц площади умножают на 10 вместо 100. Ошибка появляется, когда учитывают только одну сторону квадрата и забывают о второй. Выполните проверку через 10 · 10: для соседних квадратных единиц коэффициент равен 100.
В формуле площади прямоугольника складывают стороны вместо умножения. Сложение даёт другую величину и не показывает число единичных квадратов внутри фигуры. Сверьте запись с формулой S = a · b и оцените результат: площадь должна иметь квадратную единицу.
Иногда площади частей составной фигуры складывают, хотя части перекрываются. Общая область тогда считается дважды, и ответ получается завышенным. Разметьте части так, чтобы они не пересекались, или вычтите площадь перекрытия.
До изучения площади нужно уметь пользоваться единицами длины, измерять отрезки и умножать натуральные числа. Эти навыки нужны для подстановки размеров в формулу и правильного выбора единицы результата. Без приведения всех длин к одной единице вычисление может оказаться неверным.
Понятие площади встречается в задачах о поверхностях, ремонте, планировании помещений и земельных участков. Оно связано с измерением и переводом единиц, а также с разбиением сложных фигур на простые. Позже эти приёмы помогут находить площади других фигур.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Площадь показывает размер поверхности, а поверхность удобно покрывать одинаковыми квадратами. Число таких квадратов и есть численное значение площади, поэтому единицы называют квадратными: см², м².
Чем площадь отличается от периметра?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура внутри границы, и измеряется квадратными единицами. Периметр — это длина границы фигуры, его измеряют сантиметрами, метрами и другими единицами длины.
Почему при переводе квадратных единиц коэффициент пересчёта возводят в квадрат?
Квадратная единица имеет две стороны. Если 1 дм = 10 см, то в одном ряду квадрата помещается 10 маленьких квадратов и столько же рядов, поэтому 1 дм² = 10 · 10 = 100 см².
Как найти площадь квадрата, если известна только длина его стороны?
У квадрата длины всех сторон одинаковы, поэтому достаточно умножить сторону на саму себя. Если сторона равна a, то площадь вычисляют по формуле S = a².
Как найти площадь фигуры, которая не является прямоугольником?
Фигуру можно разделить на несколько прямоугольников и сложить площади частей. Другой способ — дополнить её до прямоугольника и вычесть площадь лишней части.
Площадь
