Площадь

Определения и обозначения

Площадь — величина, которая характеризует, сколько места занимает плоская фигура. Площади можно сравнивать: одна фигура может занимать больше, меньше или столько же места, сколько другая. Площадь измеряют, чтобы получать точные числовые результаты.

Равные по площади фигуры имеют одну и ту же площадь, даже если их форма различается. Например, длинный прямоугольник и более широкий, но короткий прямоугольник могут занимать одинаковое место. Это помогает не путать площадь с внешним видом или длиной границы.

Единичный квадрат — квадрат, площадь которого принята за единицу измерения. Такой квадрат служит меркой: с ним сравнивают площадь других фигур. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см².

Единица площади — выбранная площадь, с помощью которой измеряют другие фигуры. Название единицы связано со стороной единичного квадрата: квадрат со стороной 1 м задаёт квадратный метр, а со стороной 1 см — квадратный сантиметр. Указание единицы необходимо, иначе числовой ответ будет неполным.

Как это устроено

Сравнить площади можно наложением, если фигуры удобно совместить. Если одна фигура целиком помещается внутри другой, её площадь меньше. Когда формы различаются, фигуры разбивают на части и мысленно переставляют их: если частей требуется одинаковое количество одинакового размера, площади равны.

Единичный квадрат становится меркой потому, что его площадь заранее известна и не меняется. Фигуру покрывают такими квадратами без промежутков и перекрытий, а затем считают их число. Если граница проходит через клетки, неполные части объединяют так, чтобы получить целые квадраты или другие удобные части.

Числовое значение площади зависит от выбранной единицы. Одна и та же поверхность имеет площадь 12 дм², но 1200 см², потому что квадратный дециметр крупнее квадратного сантиметра. Поэтому рядом с числом всегда записывают единицу: без неё нельзя понять, что именно измеряли.

Если фигуру разделить на неперекрывающиеся части, каждая точка исходной фигуры попадёт ровно в одну часть. Значит, при сложении площадей ничего не посчитают дважды и ничего не пропустят. Это свойство позволяет измерять сложные фигуры через более простые.

У прямоугольника единичные квадраты располагаются ровными рядами. Если в каждом ряду b квадратов, а рядов a, то всего получится a · b квадратов. Поэтому площадь прямоугольника находят по правилу S = a · b, где a и b — длины его сторон, выраженные в согласованных единицах.

Измерение и вычисление площади

Таблица показывает, какую мерку выбрать и какое правило применить в разных ситуациях. Сначала определите вид фигуры и единицу измерения, затем посчитайте квадратные единицы или используйте формулу. В последнем столбце проверьте, не забыта ли единица площади и не посчитаны ли части дважды.

Разбор задач

Сравнение фигур на клетчатой бумаге

Условие: на клетчатой бумаге изображены две фигуры. Нужно сравнить их площади, считая клетки. Каждая клетка принимается за один единичный квадрат.

1. Сосчитаем целые клетки внутри первой фигуры и отдельно внутри второй.
2. Если на границе есть неполные клетки, объединим подходящие половины или другие части в целые клетки.
3. Сравним полученные числа: большее число означает большую площадь, а одинаковые числа — равные площади.

Ответ: площадь каждой фигуры равна числу единичных квадратов, покрывающих её после объединения неполных частей; по этим числам определяют, какая площадь больше или равна.

Площадь прямоугольника

Условие: стороны прямоугольника равны 6 см и 4 см. Найдём его площадь. Представим, что он покрыт квадратами со стороной 1 см.

1. В одном ряду помещается 6 единичных квадратов.
2. Всего таких рядов 4.
3. Умножим число квадратов в ряду на число рядов: S = 6 · 4 = 24 см².

Ответ: 24 см².

Площадь составной фигуры

Условие: фигура составлена из прямоугольника 8 см на 5 см и прямоугольника 3 см на 2 см, приставленного без перекрытия. Найдём общую площадь.

1. Площадь первого прямоугольника: S₁ = 8 · 5 = 40 см².
2. Площадь второго прямоугольника: S₂ = 3 · 2 = 6 см².
3. Части не перекрываются, поэтому складываем их площади: S = 40 + 6 = 46 см².

Ответ: 46 см².

Типичные ошибки

Сравнение по внешнему виду. Иногда считают, что более длинная или широкая фигура обязательно имеет большую площадь. Форма и отдельные стороны не дают полного ответа, поэтому нужно наложить фигуры или посчитать квадратные единицы.

Неполные клетки. Ученик может считать только целые клетки и отбросить части по краю. Так площадь занижается; разрежьте фигуру или объедините подходящие части в целые квадраты.

Неверная единица. Запись «24 см» обозначает длину, а не площадь, поэтому для площади нужно писать «24 см²». Проверьте ответ: единица должна быть квадратной и соответствовать использованным измерениям.

Сложение сторон прямоугольника. Выражение 6 + 4 показывает сумму длин, но не число единичных квадратов. Представьте ряды клеток и умножьте число рядов на число клеток в одном ряду.

Связь с другими темами

До изучения площади нужно уметь измерять длины, пользоваться линейкой и считать предметы, расположенные прямоугольными рядами. Эти навыки помогают выбрать единицу, измерить стороны и понять смысл умножения.

Площадь используется при вычислении прямоугольников и других многоугольников, а также в задачах о поверхностях и расходе материалов. Например, по площади можно оценить количество краски, плитки или бумаги.

Что запомнить

• Площадь характеризует плоскую фигуру и измеряется квадратными единицами.
• Чтобы измерить площадь, выбирают единицу площади и считают, сколько таких единиц покрывает фигуру.
• Равные по площади фигуры могут иметь разную форму.
• Площадь фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.
• При записи площади указывают квадратную единицу измерения.