"Математика", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Объём показывает, сколько места занимает тело и сколько одинаковых единичных кубов можно в него поместить. Его измеряют кубическими единицами: кубическими сантиметрами, дециметрами и метрами. Для прямоугольного параллелепипеда объём находят умножением длины, ширины и высоты. Объёмы неперекрывающихся частей складывают, а при переводе единиц учитывают три измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается в данном теле. Единичные кубы должны заполнять тело без промежутков и наложений. Это понятие позволяет измерять не длину предмета, а занимаемое им пространство.
Единица объёма — объём куба, ребро которого принято за единицу длины. Например, если за единицу длины выбран сантиметр, основной единицей станет куб со сторонами 1 см. Сравнивая тело с такими кубами, получают его числовой объём.
Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см; его обозначают см³. Три одинаковых измерения объясняют верхний индекс 3 в обозначении. Кубические сантиметры удобны для небольших предметов и вместимости.
Объём прямоугольного параллелепипеда — произведение длины, ширины и высоты тела. Если эти измерения равны a, b и c, используют формулу V = a · b · c. Она помогает быстро заменить непосредственный подсчёт всех кубиков вычислением.
Объём измеряют числом одинаковых единичных кубов, которыми можно заполнить тело без промежутков и наложений. Один куб занимает определённое трёхмерное пространство, поэтому его нельзя заменить квадратом или отрезком. Чем больше таких кубов помещается внутри тела, тем больше его объём.
Если тело составлено из нескольких непересекающихся частей, его объём равен сумме объёмов этих частей. Каждая часть занимает своё пространство, и при объединении эти пространства складываются. Условие неперекрытия нужно потому, что общую область нельзя посчитать дважды.
Прямоугольный параллелепипед удобно представлять как набор слоёв одинаковых кубов. В одном слое число кубов равно произведению длины на ширину, то есть площади основания в квадратных единицах. Затем это число умножают на количество слоёв по высоте.
Так из подсчёта кубов получается формула V = a · b · c. Сначала находят, сколько кубов стоит в одном горизонтальном слое, а затем учитывают все слои. Поэтому в формуле участвуют три измерения, а результат выражается в кубических единицах.
При изменении единицы измерения объёма меняется и числовое значение. Например, в 1 дм содержится 10 см, поэтому в кубе со стороной 1 дм будет 10 · 10 · 10 = 1000 кубиков размером 1 см³. Значит, 1 дм³ = 1000 см³, хотя само пространство остаётся тем же.
| Объект или единица | Как находят объём | Обозначение или единица |
|---|---|---|
| Единичный куб | Принимают объём куба за 1 | 1 кубическая единица |
| Прямоугольный параллелепипед | Перемножают длину, ширину и высоту | V = a · b · c |
| Куб | Умножают ребро само на себя три раза | V = a³ |
| Составное тело | Складывают объёмы неперекрывающихся частей | Кубические единицы |
| Перевод единиц объёма | Учитывают переход по трём измерениям | 1 дм³ = 1000 см³ |
В таблице сначала определяют, с каким объектом или действием связана задача. Затем выбирают формулу или правило из второго столбца и проверяют единицу результата. Если единицы у данных величин разные, перед вычислением их приводят к одной системе.
Для куба достаточно знать длину одного ребра, потому что все его рёбра равны. Для составного тела таблица напоминает о необходимости сначала разделить фигуру на удобные части. При переводе единиц нельзя учитывать только одну сторону: объём зависит от трёх измерений.
Нужно найти объём тела с длиной 8 см, шириной 3 см и высотой 5 см. Все измерения уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить их не требуется. Искомый результат будет дан в кубических сантиметрах.
Ответ: объём прямоугольного параллелепипеда равен 120 см³. Проверка показывает, что при увеличении любого измерения объём также увеличивается. Значит, полученное значение согласуется со смыслом задачи.
Аквариум имеет размеры 40 см × 25 см × 30 см. Сначала найдём, сколько кубических сантиметров пространства он вмещает, а затем переведём результат в литры. Используем соотношение 1 л = 1000 см³.
Ответ: в аквариум можно налить 30 л воды, если считать его размеры внутренними и не учитывать свободное место сверху. Единицы переведены только после нахождения объёма. Такой порядок помогает не перепутать сантиметры с литрами.
Фигура составлена из двух прямоугольных параллелепипедов, которые соприкасаются, но не перекрываются. Пусть размеры первой части равны 6 см × 4 см × 2 см, а второй — 3 см × 4 см × 2 см. Нужно найти общий объём по отдельности, потому что для каждой части известна своя формула.
Ответ: объём составного тела равен 72 см³. Перед сложением мы проверили, что одна часть не входит в другую и общей области нет. Если бы части перекрывались, объём перекрытия пришлось бы вычесть один раз.
Ученик складывает длину, ширину и высоту вместо их умножения, перенося способ нахождения периметра. Такая ошибка возникает, когда разные величины воспринимают как стороны одной плоской фигуры. Нужно проверить формулу: объём прямоугольного параллелепипеда содержит произведение трёх измерений.
В ответе указывают квадратные или линейные единицы. Причина в том, что ученик смотрит только на числа и забывает о трёх направлениях пространства. Полезно спросить себя, сколько измерений перемножалось: три длины дают кубические единицы, например см³.
При переводе 1 м³ в см³ умножают на 100, а не на 1 000 000. Так происходит, если учесть переход метров в сантиметры только для одной или двух сторон. Проверка проста: поскольку 1 м = 100 см, нужно вычислить 100 · 100 · 100 = 1 000 000.
Объёмы частей составного тела складывают, даже если части перекрываются или одна вырезана из другой. Ошибка появляется из-за механического применения правила сложения. Перед вычислением нужно проверить расположение частей: при перекрытии общую область не считают дважды, а вырезанный кусок вычитают.
До изучения объёма нужно уметь измерять длину и переводить единицы длины. Также пригодятся формула площади прямоугольника и представление о строении прямоугольного параллелепипеда. Площадь основания помогает понять, сколько кубов находится в одном слое.
Объём нужен при вычислении вместимости сосудов и коробок. Он также используется для нахождения массы вещества по плотности, поскольку масса зависит от объёма. В старших классах понятие расширяется на другие геометрические тела.
Тема связана с дробями и отношениями при переводе единиц. Формула объёма опирается на формулы площадей и станет основой для дальнейшего изучения объёмов цилиндра, призмы и других тел.
Почему объём измеряют кубическими, а не квадратными единицами?
Квадратные единицы измеряют площадь поверхности, то есть размер плоской фигуры. Объём показывает пространство внутри тела, поэтому его сравнивают с кубами и выражают в кубических единицах.
Как понять, какие размеры нужно перемножить?
Для прямоугольного параллелепипеда перемножают три измерения, идущие в разных направлениях: длину, ширину и высоту. Если известны размеры основания и высота, сначала находят площадь основания, а затем умножают её на высоту.
Почему при переводе кубических единиц коэффициент возводится в третью степень?
Объём имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Поэтому коэффициент перевода длины используется три раза: например, 1 дм = 10 см, значит 1 дм³ = 10 · 10 · 10 = 1000 см³.
Как найти объём тела неправильной формы?
Если тело можно разделить на знакомые части, находят объём каждой части и складывают результаты. Небольшое тело неправильной формы можно погрузить в воду и определить объём вытесненной воды.
Можно ли складывать объёмы, записанные в разных единицах?
Сначала нужно привести все значения к одной единице измерения. После этого объёмы можно складывать, вычитать или сравнивать.
Объём
